关于圆的定理

割线定理

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.

数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A、B、C、D 则有 LA·LB=LC·LD=LT^2.

几何语言：

∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点.

∴LA·LB=LC·LD=LT^2. 如右图所示. (LT为切线）

切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种.

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT²=PA·PB（切割线定理）.

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

几何语言：

∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD

相交弦定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.几何语言：

∵弦AB、CD交于点P. ∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）.

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

几何语言：

∵AB是直径，CD⊥AB于点P. ∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）.

弦切角定理

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 弦切角等于它所夹 的弧所对的圆心角的一半.两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.

证明：如图2，AB为圆O的切线，因为BD是直径，所以内接三角形BCD是直角三角形，其中∠DCB是直角.

∴∠BDC+∠1=90°. ∵∠1 +∠CBA=90°. ∴∠CBA=∠BDC.

射影定理

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

概述图中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：

CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，AC·BC=AB·CD.

证明：

由等积法可知：AB×BC=BD×AC.

在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB. 故AB×BC=BD×AC. 两边各除以tan∠BAD. 得：AB2=AD×AC. 同理可得BC²=CD·CA. 在Rt△ABD和Rt△BCD中.

tan∠BAD=BD/AD， cot∠BCD=CD/BD. 又∵tan∠BAD=cot∠BCD.

故BD/AD=CD/BD. 得BD2=AD×CD.

（cot（余切）：直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比，叫做该锐角的余切）.

蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD.设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点.

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT.

∵OS⊥DA. ∴∠OSD=90°. ∵M为PQ中点. ∴∠OMP=90°.

∴∠OSD=∠OMP=90°. ∴O，S，X，M四点共圆 同理，O，T，Y，M四点共圆.

∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX. ∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ. ∴∠OMX=∠OMY=90° ∵OM=OM. ∴△OMX≌△OMY. ∴XM=YM

西姆松定理

西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线.（此线常称为西姆松线）.

逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.

证明：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP， 则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆， 有∠NBP = ∠NLP= ∠MLP= ∠MCP. 故A、B、P、C四点共圆. 若A、P、B、C四点共圆， 则∠NBP= ∠MCP.

∵PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB， 有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆， 有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP. ∴L、M、N三点共线.