简单的线性规划

　　教学目标

　　(1)使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域;

　　(2)了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念;

　　(3)了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;

　　(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;

　　(5)结合教学内容,培养学生学习数学的爱好和“用数学”的意识,激励学生勇于创新.

　　教学建议

　　一、知识结构

　　教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法-图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.

　　二、重点、难点分析

　　本小节的重点是二元一次不等式(组)表示平面的区域.

　　对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,因此学习二元一次不等式(组)表示平面的区域分为两个大的层次:

　　(1)二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线(画成虚线).其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.

　　(2)二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.

　　难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.

　　对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.

　　对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系;②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解;分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外,利用计算机可以较快地帮助学生把握寻找整点最优解的方法.

　　三、教法建议

　　(1)对学生来说,二元一次不等式(组)表示平面的区域是一个比较生疏的概念,不象二元一次方程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到忽然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念

　　(2)建议将本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证实、归纳)来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧知识把握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.

　　(3)要举几个典型例题,非凡是似是而非的例子,对理解二元一次不等式(组)表示的平面区域的含义是十分必要的.

　　(4)建议通过本节教学着重培养学生把握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.

　　(5)对作业、思考题、研究性题的建议:①作业主要练习学生规范的解题步骤和作图能力;②思考题主要供学有余力的学生课后完成;③研究性题综合性较大,主要用于拓宽学生的思维.

　　(6)若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解四周寻找.

　　假如可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也可.

　　(7)在线性规划的实际问题中,主要把握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.

　　线性规划教学设计方案(一)

　　教学目标

　　使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.

　　重点难点

　　了解二元一次不等式表示平面区域.

　　教学过程

　　引入新课

　　我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢?

　　二元一次不等式表示的平面区域

　　1.先分析一个具体的例子

　　我们知道,在平面直角坐标系中,以二元一次方程 的解为坐标的点的集合 是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l(如图)那么,以二元一次不等式(即含有两个未知数,且未知数的最高次数都是1的不等式) 的解为坐标的点的集合 是什么图形呢?

　　在平面直角坐标系中,所有点被直线l分三类:①在l上;②在l的右上方的平面区域;③在l的左下方的平面区域(如图)取集合a的点(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我们发现这些点都在l的右上方的平面区域,而点(0,0)、(-1,-1)等等不属于a,它们满足不等式 ,这些点却在l的左下方的平面区域.

　　由此我们猜想,对直线l右上方的任意点 成立;对直线l左下方的任意点 成立,下面我们证实这个事实.

　　在直线 上任取一点 ,过点p作垂直于y轴的直线 ,在此直线上点p右侧的任意一点 ,都有 ∴

　　于是

　　所以

　　因为点 ,是l上的任意点,所以,对于直线 右上方的任意点 ,

　　都成立

　　同理,对于直线 左下方的任意点 ,

　　都成立

　　所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 的解为坐标的点的集点.

　　是直线 右上方的平面区域(如图)

　　类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 的解为坐标的点的集合 是直线 左下方的平面区域.

　　2.二元一次不等式 和 表示平面域.

　　(1)结论:二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域.

　　把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式 就表示的面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线.

　　(2)判定方法:由于对在直线 同一侧的所有点 ,把它的坐标 代入 ,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个非凡点 ,以 的正负情况便可判定 表示这一直线哪一侧的平面区域,非凡地,当 时,常把原点作为此非凡点.

　　应用举例

　　例1 画出不等式 表示的平面区域

　　解;先画直线 (画线虚线)取原点(0,0),代入 ,

　　∴ ∴ 原点在不等式 表示的平面区域内,不等式 表示的平面区域如图阴影部分.

　　例2 画出不等式组

　　表示的平面区域

　　分析:在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

　　解:不等式 表示直线 上及右上方的平面区域, 表示直线 上及右上方的平面区域, 上及左上方的平面区域,所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.

　　课堂练习

　　作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.

　　(1) (2) (3)

　　(4) (5)

　　总结提炼

　　1.二元一次不等式表示的平面区域.

　　2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法.

　　3.二元一次不等式组表示的平面区域.

　　布置作业

　　1.不等式 表示的区域在 的( ).

　　a.右上方 b.右下方 c.左上方 d.左下方

　　2.不等式 表示的平面区域是( ).

　　3.不等式组 表示的平面区域是( ).

　　4.直线 右上方的平面区域可用不等式 表示.

　　5.不等式组 表示的平面区域内的整点坐标是 .

　　6.画出 表示的区域.

　　答案:

　　1.b 2.d 3.b 4. 5.(-1,-1)