幂函数知识点及典型题

幂函数

知识点

一、幂函数的定义 一般地，形如y都是幂函数 二、幂函数的图像

幂函数yx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握yx，当n2,1,nn

三、幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

21314x（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.如yx,yx,yx等

（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y＝x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象

11,,3的图像和性质，列表如下． 23

① 它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．

典型题

类型一、求函数解析式

例1.已知幂函数y(m2m1)xm类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)3.144322m3∞)时为减函数，则幂函数y__________． ，当x(0，11② a,,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．

321③ a,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．

2④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

与3543

35(2)(2)与(3)(3）比较0.80.5

0.5，0.9，0.90.5的大小

类型三、求参数的范围

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必修一-奇偶性 吾生也有涯，而知也无涯

例3.已知幂函数yx例4.若a12m2(mN)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．

211、已知x3,2，求f(x)

11x1的最小值与最大值。 x4232a，求实数a的取值范围

五、讨论函数性质

例5.求函数y=

(x(312)22x)32的定义域.

34例6.讨论函数y(x2x3)1的单调性.

例7.讨论函数f(x)xm

2m1(mN)的定义域、奇偶性和单调性．

课后作业

1.已知幂函数f ( x )图像过点（2，

2），则f ( 4 ) = 22.函数yf(x)与g(x)log2x的函数图象关于直线yx对称，则f(2) 3.求函数y420.3xx13的值域.

24、设a2,b0.3,clog20.3，则a,b,c的大小关系是 5.Ayy()x,x1，Byylnx,x1，则AB

126、若函数f(x)a(a0,a1)的反函数是g(x)，且g(x)在[1，2]上的最大值与最小值之和为1，则

xa .

7、若loga21，则实数a的取值范围是___________ 58、已知幂函数f(x)的反函数的图像过(2,2)，求函数f(x)解析式为 9、f(x)131x定义域是 ；f(x)1log2(x1)定义域是

10、函数y12x22x3的单调递增区间是 ，值域为

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