【精品】高中必修二数学 立体几何初步 讲义 +练习题 第1讲 8.9

学生/课程 授课教师 核心内容 江老师 年级 日期 高一年级 8.9 学科 时段 立体几何初步（第1讲） 【学习目标】

1．了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。

2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。

3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。 5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。

6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。 7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：空间几何体的结构与特征

本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体．

柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形． 空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度．先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算．侧面展开图问题是经常出现的一个问题．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素．

与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化． 要点二：平面基本性质

刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础．

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．

公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据． 要点三：空间的平行与垂直关系

理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙．归纳出以下判定定理： (1)空间中的平行关系

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． (2)空间中的垂直关系

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．

【典型例题】

类型一：空间几何体的三视图

例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD平面PEG

【总结升华】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 举一反三：

【变式1】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________.

例2．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC'，证明：BC'∥面EFG。

AEDBC4D'GFB'C'26224正视图侧视图【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V长方体-V正三棱锥，求该多面体的体积；

（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG∥BC′，即可证明BC′∥面EFG．

类型二：几何体的表面积和体积

例3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示 （单位：m）:

（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积和体积.

【思路点拨】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出直观图．

举一反三：

【变式1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )

711 A．a2 B．a2 C．a2 D．5a2

33【变式2】如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD3cm,AA12cm,则四棱锥ABB1D1D的体

积为 cm3.

类型三：直线、平面的位置关系

例4.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.

（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1； （2）求证：A1B⊥AM；

（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；

例5．如图所示，在五棱锥P-ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝22，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC； (2)求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)求四棱锥P-ACDE的体积．

举一反三：

【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=45。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （2）求四棱锥P-ABCD的体积。

例6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

类型四：折叠问题

例7． 如下图(1)，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB＝AD＝CE＝2，现沿EF把四边形CDFE折起如下图(2)，使平面CDFE⊥平面ABEF．

(1)求证；AD∥平面BCE； (2)求证：AB⊥平面BCE； (3)求三棱锥C-ADE的体积．

举一反三：

【变式1】如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AEFCCP1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF平面EFB，连结A1B，A1P.（如图2）

（Ⅰ）若Q为A1B中点，求证：PQ∥平面A1EF； （Ⅱ）求证：A1EEP. EAA1 FQEF BPCB

PC

图1 图2

类型五：探索性问题

例8．如下图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

举一反三：

【变式1】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证；BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB；

(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．