指数及指数函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 记作

nnn00。当n是奇数时，

nana，当n是偶数时，

a(a0) a|a|a(a0)2．分数指数幂 正

amn数

nm的分数指

*数

幂

mn的意义，规定：

a(a0,m,nN,n1)a1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）arasars(a0,r,sQ)； （2）(ar)sars(a0,r,sQ)；（3）

(ab)rarbr(a0,b0,rQ)．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质

定义域 R 定义域 R 值域y0 值域y0 在R上单调递在R上单调递增 减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过函数图象都过定点(0,1) 定点(0,1) 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a,b]上，f(x)ax(a0且a1）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]；

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a； 一、化解

2⑴a3b23ab114（a0,b0） ab1

a4b21133ab2(2)(278)3(0.002)1210(52)1(23)0.67

9

二、比较大小

1、1.72.5______1.73； 2 0.80.1______1.250.2 ；3 1.73______1.83； 4

0.72______0.82；

5 1.70.3______0.93.1；

3226设a()5,b()5,c()5，则a,b,c的大小关系是，abc

555232三、解指数方程

1 方程9x63x70的解是___xlog37______。

2 方程9x231x27的根是 。

四、方程恒过定点

1已知函数fxax14的图像恒过定点P，则点P的坐标是（ 1,5 ） 2已知函数f(x)a1x3的图像恒过定点P，则点P的坐标是（ (1,2) ）

五、指数函数的单调性问题

1指数函数f(x)(a21)x是减函数，则实数a的取值范围是 .

3axa ， x13 上的增函数，是 ，那么a的取值范围是  ， 3 .  x12logax ，2已知fx六、指数函数的图像

1若a1,b1则函数yaxb的图象必不经过（ B ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2已知函数f(x)(xa)(xb)(ab)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象

是（ ）

七、指数函数中的值域问题

1函数y1的值域是_____． 2x1

( (0,4] )

122函数y()x2x1的值域是

2八、指数函数中的底数问题

1 21若指数函数yax在[1,1]上的最大值与最小值的差是3a，则底数a2函数ya2x2ax1（a0且a1）在区间[1,1]上的最大值为14，a的值是

a13或a3

九、指数函数中的绝对值问题

1 指数函数f(x)2x4，若f(x)m有且只有两实数根，则实数m的取值范围

2若关于x的方程25|x1|45|x1|m有实根，则实数m的取值范围是____m4____。

十、指数函数的综合问题

1已知y4x32x3,当其值域为[1,7]时，求x的取值范围。(,0][1,2]

112已知9x103x90，求函数y()x14()x2的最大值和最小值。

42习题

1 3a6a等于 A.－a B.－a C.a

2化简x3x的结果是( x )

3 计算：

152(31)0945 -1 14 计算：(532121213325156ab)(3ab)(4ab)ab(6a3b2) 4b

415 计算：

a38a3bb22÷(1234b323ab3a)3a a a21211a3·b1·a2·b36计算： 6a·b5； 127计算：5116a3b2(3a2b1)(4a3b3)2

1128 计算：(3)3(7)08442(323)6(23)326110

359 计算：

a45b2b34a3=aa

[(33210计算： 40.52118)3(59)(0.008)3(0.02)2(0.32)2]（0.0625）0.25 D. a

29

11计算：

a8ab4b23aba143132323(a2323ba3a2).a2

5aa3a12(4ab1)312计算：()1423320.1(ab) 13化简(36a9)4(634

a9)4的结果为（ a ）

2113240.50.25（0.0625）14计算： [(3)3(5)(0.008)3(0.02)2(0.32)2]89

15化简：

a8ab4b23aba1343132323(a2323ba3a2).

5aa3a16计算：(0.027)1271()(2)2(21)0＝__-45______。

7921113340.5217计算：[(3)(5)(0.008)3(0.02)2(0.32)2]0.06254；

899218计算：

a3aa54(a0)的值是_a______．

1710116727319化简： ()(0.002)210(52)1(23)0 －.

98220若a2xa3xa3x21，则x等于（ 221 ） xaa21已知a1a(aa3,求1aa42)(a21413)2a的值. 2005

aa11(aa2)(a222已知a1a23)a3,求aa的值.

4a14a3123若x2x123，求x2x3222x2x23的值．5.

24指数函数f(x)ax的图象经过点(3,8)，则f(3)__1

8

25已知函数f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)＝_____7_____.

26已知a512，函数f(x)ax，若实数m,n满足f(m)f(n)，则m,n的关系为( 27若f10xx，则f3（ lg3 ）

42128已知a23,b33,c253，则 bac

29设函数f(x)xx012xx0则f(f(4))＝_____4_____.

30比较下列两个值的大小：

11（1）1353和42 （2） 2和3.142 （3）12233和32

31设y90.441140.,y28,y3(2)1.5，则（ ）

A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2

mn) 32下列各式比较大小正确的是( )．

A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62 C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1

33已知函数f(x)ex1,g(x)x24x3,若有f(a)g(b),则b的取值范围为

(22,22)

34若a3a4，求a的取值范围。a1

135设y140.9,y280.44,y3()1.5，则（ y1＞y3＞y2 ）

2136已知a21.2,b()0.5,c2log52，则a,b,c的大小关系为( abc )

237设2a5bm，且

112，则m等于( ab10 )．

38求函数y＝3x22x3的定义域、值域和单调区间．［1，＋∞)．

39函数yax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 2 ．

a13，则a的值为___or 22240指数函数f(x)ax在[1,2]中的最大值比最小值大

41若函数f(x)e(x)(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，求m＋μ的值。1

242若指数函数f(x)ax1的定义域和值域都是[0,2]，则实数a__3_____.

43函数y＝a2 010－x＋2 010（a0且a1），恒过点___(2 010，2 011)_____．

44方程2x=2x的解的个数为__1____．

45已知f(x)a1是定义在(,1][1,)上的奇函数，则f(x)的值域为x213113__[,)(,]

222211346求函数y()x()x1在[3,2]上的值域．[,57]

4242x147求函数y()的值域．

32x48求函数yx在x∈[－3,2]上的值域

2149函数y1的值域是(0,1)____． 2x1x23x450求函数y2的值域．

51求函数y12x2x2的单调区间，

152函数y2x22x1的值域是( )为(0,4]

153已知函数 y2x1求值域0y1

54函数y164x的值域是[0,4) 55函数y3|log3x|的值域为[1,)

x1256设f(x)2xx，求函数y422x15的最大值和最小值．

57求函数y3x22x3的值域。[1,)．

58 解方程4x2x130

2251()x0,则()x,33251xlog22 。 59方程6x4x9x的根是 360方程4x2x10的解为_______.x1

61若函数yaxb1a0且a1的图象经过第一、三、四象限，则有（ B ）

A．a1，且b1 B．a1，且b0 C．0a1，且b0 D．0a1，且b0

313x1的实数解为______xlog34. x31362方程

63若函数f(x)a2x4（a0且a1），满足f(1)[2，＋∞)

1，则f(x)的单调递减区间是 9

64若存在负实数使得方程2xa∞) )

1成立，则实数a的取值范围是 x1 ( (2，＋

65已知实数a,b满足等式2014a2015b，下列五个关系式：①0ba；②0ab；③ba0；④ab0；⑤ab.其中不可能成立的关系式有 ( B) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

66

1,设函数f(x)xex,x0x≤0若F(x)f(x)x,xR，则F(x)的值域为

( (,1][2,) )

67若关于x的方程ax12a（a0且a1）有两个不等实根，则a的取值范围是

1( (0,) )

2x23323a68关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为__(,)___．

345a2169设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0,y0)，则x0所在的区间为(k,k1)，求整数k2的值是1

70对于函数的这些性质：（1）奇函数；(2)偶函数；（3）增函数；（4）减函数，函数

fxx32x2xxR具有的性质是（ B ） A （1）（4） B （1）（3） C (2)

（4） D （3）

71下列各式中正确的是（ D ）

72设关于x的方程4x2x1b0有实数解，求实数b的取值范围。[1,)

111x73函数ya1与y具有不同的单调性，则ma13与n的大小关系是

aax3（ D ）

A． m＜n B． m＝n C． m＞n D．不能确定

74若nN，则4n21n14n21n1（ 2 ） 75下列说法中，正确的是（ B ）

①任取xR都有3x2x； ②当a1时，任取xR都有axax；③y(3)x是增函数；

④y2x的最小值为1 ； ⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2x的图象对称于y轴；

A．①②④

B．④⑤

C．②③④

D．①⑤

76不等式6x2x21的解集是 {x|2x1} ．

77不等式2x22x41的解集为____[3,1] 278

指数函数f(x)(a21)x是减函数，则实数a的取值范围是

(2,1)(1,2) .

79对于自然数a,b,c(abc)和实数x,y,z,w，若axbycz70w,1111, xyzw则ab与c的大小关系为abc

1,x01x79若函数f(x) 则不等式|f(x)|的解集为_____3,1_______

3(1)x,x03|1x|180若函数y2m的图象存在零点，则m的取值范围是 1m0

381设函数f(x)2x1x1，求使f(x)22的x的取值范围．[,)

482已知x,y,z满足，2x4y40, z4x24y5 求z的取值范围。3z21

83满足条件mm(mm)2的正数m的取值范围是______(0,1)(2,)_____________. 84函数f(x)axloga(x1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为

1185已知9x103x90，求函数y()x14()x2的最大值2

42486若函数ylg(34xx2)的定义域为M，当xM时，求f(x)2x234x的最大值。

312287解方程：5x13x21

88函数y3|log3x|的值域为[1,)

1289函数y()x的值域是( (0,1] )

31x22x290 函数y()的递增区间是_（－∞，1］__________.

291函数yex的图象

A.与yex的图象关于y轴对称

B.与yex的图象关于坐标原点对称

C.与yex的图象关于y轴对称

D.与yex的图象关于坐标原点对称

92指数函数ya2x2ax1在[1,1]上的最大值是14，求a的值．

93若函数f(x)4x12a2x27在区间[0,2]上的最大值为9，求实数a的值。5 294函数yax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ．

95求函数y3x22x3在[0,3]的最大值．

96若直线y2a与函数yax1（a0且a1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是

1__(0,)___

297若曲线y2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是___[1,1]

2x198设函数f(x)，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y[f(x)]的值域x122是 ．{1,0}

99设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)f(0)____－1

1100函数f(x)的定义域为R，f(2x)f(2x)，当x[1,2]时，fx，则

2x11f(),f(1),f(4)的大小关系是________．f()f(4)f(1)

22e2xx01101已知实数a1，函数f(x)ax，若f(1a)f(a1)，则a的值为__．

2ex03102要使函数ya4x2x1在x(,1]，上y0恒成立，求a的取值范围。a,

4(13a)x10ax7103已知函数f(x)x7，是R上的减函数，则实数a的取值范围是

x7a16( (,] )．

311104若函数f(x)x22ax与gx(a1)1x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是__(0,1]__

aab105定义运算：ab，若fx2x2x , xR，则fx的值域为 (0,1]

bab106若指数函数f(x)ax在[1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)x在1

[0,)上是增函数，则a__________.

4

107函数yaxb（a0且a1）的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为((0,1) )．

2x1x0108已知函数f(x)2，若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值

x2xx0范围是_(0,1)_．

109已知指数函数f(x)ax，且f(2)f(3)，则a的取值范围是_(0,1)_______．

110函数y2x2x是( )．

A．奇函数，在区间(0,)上单调递增 B．奇函数，在区间(0,)上单调递减

C．偶函数，在区间(,0)上单调递增 D．偶函数，在区间(,0)上单调递减

111若函数yaxb1（a0且a1）的图象经过二、三、四象限，则一定有

A.0a1且b0 B.a1且b0 C.0a1且b0 D.a1且b0

112 设f(x)3x1，cba且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是( D )．

A．3c3b B．3b3a C．3c3a2 D．3c3a2

113对于函数fx定义域中任意的x1,x2(x1x2),有如下结论：①f(x1x2)f(x1)f(x2)；②f(x1x2)f(x1)f(x2)；③

f(x1)f(x2)xxf(x1)f(x2)0；④f(12),当f(x)2xx1x222时，上述结论中正确结论的序号是______． ①③④

12()x03114已知直线ymx与函数f(x)2，的图象恰好有3个不同的公共点，则实数x1x02m的取值范围是( (2,) )

115对于函数f(x)，如果存在函数g(x)axb(a,b为常数)，使得对于区间D上的一切实数x都有f(x)g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设

f(x)2x,g(x)2x,若函数g(x)为函数f(x)在区间[m,n]上的一个“覆盖函数”，则|m－

n|的最大值为______1

11xx[0,)22116已知函数f(x),若存在x1,x2,当0x1x22时，f(x1)f(x2),则

1x12x[,2)2x1f(x2)的取值范围是___[221,) 42117设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则

有

(

)

132231213321A．f()f()f()B．f()f()f()C．f()f()f()D．f()f()f()

323323332233xb118指数函数y的图象如图所示，求二次函数yax2bx的顶点的横坐标的取值范

a10 围．，21 b119在下列图象中，二次函数yax2bxc与函数y()x的图象可能是（ ）

a120已知函数f(x)2x2，则函数yf(x)的图象可能是( )．

121指数函数（1）yax，（2）ybx，（3）ycx，（4）ydx的图象如下，则a,b,c,d与1的大小关系是

A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜

d＜c

x3122函数y2的图象与直线yx的位置关系是C

aab123定义运算ab，则f(x)2x2x的图象是( )

bab124函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是（ ）

125函数f(x)axb的图象如图所示，其中a,b为常数，则下列结论正确的是 ( )

A．a1,b0 B．a1,b0 C．0a1,b0 D．0a1,b0

1126函数yax(a0，且a1)的图象可能是( A )．

a

b127在下列图象中，二次函数yax2bxc与函数y()x的图象可能是（ A ）

aexex128函数yxx的图象大致为( A )

eeexax是定义在R上的函数． 129设已知函数f(x)ae(1)f(x)可能是奇函数吗？ (2)若f(x)是偶函数，求a的值．a1

exexexex130 已知函数f(x)，g(x)，证明：f(x1x2)＝f(x1)g(x2)＋

22g(x1)f(x2)．

131 设a是实数，f(x)a2(xR)，试证明：对于任意a,f(x)在R上为增函数． x21132 k为何值时，方程3x1k，无解？有一解？有两解？

ax1133已知函数f(x)x， (a1)

a1(1)判断函数的奇偶性；奇函数 (2)求该函数的值域；(1,1) (3)证明f(x)是R上的增函数．

4x134设f(x)x，若0a1，试求：

42(1)求fa＋f(1－a)的值；1

123(2)求f()f()f()1001100110011000f()的值．500

1001135已知a0 且a1.f(logax)a1(x) 2a1x (1)求f(x)；f(x)axx(aa) 2a1 (2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

(3)对于f(x) ,当x(1,1)时 , 有f( 1－m ) f (1－m2)  0,求m的集合。1m2

2136已知函数ybax试求a和b的值.

2x35(a,b是常数且a0,a1)在区间[,0]上有ymax3,ymin，

222aa23 或b2b32137已知定义在R上的函数fx满足fx4fx，当x0,4时，fx2xmn，且

f26.

m2（1）求m,n的值；

n59（2）当x0,4时，关于x的方程fxa2x0有解，求a的取值范围.a,9

16138已知函数f(x)3x13x

(1)若f(x)2，求x的值；xlog3(12) (2)判断x0时，f(x)的单调性；递增

1(3)若3tf(2t)mf(t)0对于t[,1]恒成立，求m的取值范围。[4,)

22x139已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x)x。

412x4x1,x1,0x0 (1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；0,2xx,x0,141(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；

1221(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？(,){0}(,)

25522xb140已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数．

2aa2(1)求a,b的值；

b11（2）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围．k

3113)x(a0且a1)． xa12141已知函数f(x)((1)求函数f(x)的定义域；{xx0} (2)讨论函数f(x)的奇偶性； 偶函数

(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立。a1

exexexex142已知函数f(x)，g(x)

22(1)判断函数f(x)、g(x)的奇偶性；(2) 证明f(x)是R上的增函数；

(3) 证明：①f(2x)＝2f(x)g(x) ； ②[g(x)]2[f(x)]21．

a(axax) (a0且a1)． 2a1143已知f(x)(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；

(3)当x[1,1]时，f(x)b恒成立，求b的取值范围。(,1]

12x144已知函数f(x)2x

(1)若f(x)2，求x的值；xlog2(12)

(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．[5,)

145已知函数f(x)(11)x 2x12(1)求函数f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；偶函数

(3)求证：f(x)0

12146已知函数f(x)()ax4x3

3(1)若a1，求f(x)的单调区间；单调递增区间是[2,)，单调递减区间是(,2)

(2)若f(x)有最大值3，求a的值．1

147设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数．

(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(,4)(1,)

(2)若f(1)3，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在[1,)上的最小值．-2 2148已知函数f(x)bax(其中a,b为常量且a0且a1)的图象经过点A(1,6),B(3,24)。

(1)试确定f(x)；f(x)32x

115(2)若不等式()x()xm0在(,1]上恒成立，求实数m的取值范围．(,]

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