指数及指数函数

A组

一．选择题

1．已知a2，b4，c25，则（ ）

A．bac B．abc C．bca D cab 【答案】A

【解析】因为a244b，c2554a，所以bac，故选A．

4323251323234325131x,2．已知函数fxxa,x0,x0.若f1f1，则实数a的值等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B

【解析】Qf1f1,a112，故选B. 3．函数yax1(a0,a1)的图象可能是（ ） a

【答案】D

【解析】当a1时单调递增，以B不正确；

当0a1时单调递减，x110，故A不正确；因为yax恒不过点(1,1)，所aa10，故C不正确 ；D正确. a4．指数函数f(x)(a1)在R上是增函数，则a的取值范围是（ ）

A．a1 B．a2 C．0a1 D．1a2 【答案】B

【解析】对于指数函数ya，当a1时，函数在R上是增函数，当0a1时，函数在R上为减函数.由题意可知：a11即，a2，选B.

x

5．已知函数yfx的定义域为{x|xR且x2}，且yfx2是偶函数，当x2 时，fx2x1，那么当x2时，函数fx的递减区间是( ) A．3,5 B．3, C．2,4 D．2, 【答案】C

【解析】由题先由当x2 时，fx2x1得：减区间为,0，增区间为; 0,2. 再运用yfx2得：减区间为,2，增区间为;2,0. 又是偶函数得：减区间为0,2，增区间为;2,. 当x2时，函数yfx的递减区间是2,4.

x2,0xa6．已知函数f(x)x,若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，

xa2,则实数a的取值范围是（ ）

A．(0,2) B．(2,) C．(2,4) D． (4,) 【答案】C

【解析】画出函数y2,yx的图象如下图所示，由图象可知在区间(2,4)符合题意.

x2

exexexex,g(x),则下列等式不正确的是（ ） 7．若f(x)22A.f(2x)2g(x)1 B.f(x)g(x)1

C.f(x)g(x)f(2x) D.f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y) 【答案】D

22222exexe2xe2x2【解析】f(2x）， 2g(x)1222f(2x)2g2x1，A正确；f2(x)g2(x)1,B成立；

e2xe2x,即122e2xe2xf(x)g(x)f(2x)，C成立；，

222exexeyeyexexeyeyf(x)f(y)g(x)g(y)gg=

2222exeyexeyexyeyx

22exyexyfxy，显然不等，所以D不正确，故选D.

28．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：V体积变为

aekt，若新丸经过50天后，体积变为4a；若一个新丸

98a，则需经过的天数为 27A．75天 B．100天 C．125天 D．150天 【答案】A.

【解析】：由题意，得

248aae50k，解得e25t；令aekta，即

39272ekt()3(e25k)3e75k，即需经过的天数为75天.

3二．填空题

9．若103,104，则10【答案】

xy2xy________.

9 4x2x【解析】∵103，∴10x9，∴10x2xy102x9y. 10410．设函数f(x)x(eae)(xR)是偶函数，则实数a的值为_________． 【答案】a1

【解析】因为函数f(x)是偶函数，所以x(eae)x(exxxaex)，即

exaexxaex，所以ea1．

11．已知函数f(x)e围是 。 【答案】(,1]

|xa|（a为常数）。若f(x)在区间[1,)上是增函数，则a的取值范

【解析】令txa，则txa在区间[a,)上单调递增，而ye为增函数，所以要是函数f(x)e三．解答题

12．计算下列各式： （Ⅰ）0.0641　33　723160.75；

804txa在[1,)单调递增，则有a1，所以a的取值范围是(,1]。

8（Ⅱ）1251　33160.750.252； 51423017032428×＋×－ 62351127413【解析】（Ⅰ）原式0.41221. 216816355（Ⅱ）原式11640.5180.510.

22（Ⅲ）（Ⅲ）121322×1＋×－222. 33121334141313．已知aa113，求下列各式的值.

22a2a21（Ⅰ）aa； （Ⅱ）aa；（3） 1aa1【解析】（Ⅰ）将aa（Ⅱ）将aa1112123两边平方得a1a129，所以a1a17.

7两边平方得a2a2249，所以a2a247.

a2a214716. （Ⅲ）由（1）（2）可得1aa1714x14．设函数fx

24x（Ⅰ）用定义证明：函数fx是R上的增函数；

（Ⅱ）证明：对任意的实数t都有ftf1t1； （Ⅲ）求值：f120162f20163f...20162015f. 2016【解析】（1）证明：在定义域R上任取两个自变量值x1,x2且x1x2

44x14x2fx1fx2x1x22424由x1x2可得：4x14x20

x124424244

24242424x2x2x1x1x2x1x2x1x2从而fx1fx20 即fx1fx2

根据函数单调性的定义可得：函数fx在R上为增函数.

4t41t（2）证明：因为ftf1t t1t2424242424481 42444t1t4t241t41t24t

t1tt1t故对任意的实数t都有ftf1t1 （3）由（2）可得：f120162015f1，20162f20162014f1 20161f1 20163f2016令f2013f1，...... ，20163f...20162013f...20162015f201612016201520162f20162014f20162015fM 20161fM 2016 则f上下等式左右两边分别相加可得：201512M 故可得：M2015 2因此，f120162f20163f...201620152015 f220162xa15．已知定义域为R的函数f(x)x是奇函数。

21（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）用定义证明：f(x)在R上是减函数；

2（Ⅲ）若对于任意x[,3]都有f(kx)f(2x1)0成立，求实数k的取值范围.

12【解析】（1）由f(x)是奇函数且定义域为R，f(x)f(x)，令f(0)0即

(a1)12x，经检验满足题意。 0a1,fxx21212x2（2）由（1）知fx-1,任取x1,x2R，且x1x2 xx12212(2x12x2)22则f(x2)f(x1)-1x -1x1x1x222121(21)(21)Qx1x2，y2x在R上递增 ，2x22x10

2x12x20，2x111，2x211

f(x2)f(x1)0 f(x)在R上单调递减．

2（3）因f(x)是奇函数，从而不等式：f(kx)f(2x1)0

等价于f(kx)f(2x1)f(12x)，

2因f(x)为减函数，由上式推得：kx12x．

2即对一切x,3有：k21212x恒成立， 2x12x1111设g(x)，令2t,t,2, 2xxxx32则有h(t)t2t,t,2，g(x)minh(t)ming(1)=-1

31k1，即k的取值范围为,1。

第六讲 指数及指数函数

B组

一．选择题

1．下列函数中，满足“fxyfxfy”的单调递增函数是（ ） A．fxx【答案】D

【答案】由fxyfxfy，可知为指数函数模型，又为单增函数，则选D

12 B．

1fxx C．fx D．fx3x

23x2xax，若f32，则f3等于（ ） 2．已知fxx21A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】B

2xax，【解析】fxx可知f(x)1f(x)，所以f31f(3)121 213．已知fx22,fm3,且m0,若af2m,b2fm,cfm2,

xx则a,b,c的大小关系为（ ）

A．cba B．acb C．abc D．bac 【答案】D

22【解析】fm3，

mm3，所以b2f(m)6，af(2m)7，cf(m2)8

xfx1fx2a,x04．已知函数fx满足对任意x1x2，都有0成

x1x2a3x4a,x0立，则实数a的取值范围是（ ）

A．0,1 B．0, C．0,3 D．0,

4411【答案】B

0a11【解析】a30可知，选0,

44a15．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得f1f20a3a0，解得0a3，故实数a的取值范围是

0,3，故选C．

6．函数f(x)ax12(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，

其中m0,n0，则mn的值为（ ）

A．1 B．4 C．6 D．322 【答案】A

【解析】根据指数型函数图象过定点可知A1,1,又点在直线上则可得mn1,故本题选A.

2x,x07．设函数f(x)，若对任意给定的m(1,)，都存在唯一的xR，满

log2x,x0足f(f(x))2amam，则正实数a的取值范围是（ ） A．, B．【答案】A

22121, C．2, D．2, 2x1x【解析】由已知函数可求得f(f(x))，作出其简图，如图所示，由

log(logx)x122题意结合图象可知，2a2m2am1对一切m(1,恒)成立，而

2a2m2am1(2ma1)(ma1)0．又a0，m(1,)，所以2am10，即

a1111对一切m(1,)恒成立，而，所以a，故选A． 2m2m22

8．已知定义在R上的函数fx2xm1(mR)为偶函数．记

4,bflog25,cf2m，则a,b,c的大小关系为（ ） aflog13 A．abc B．cab C．acb D．cba 【答案】B

【解析】函数f(x)为偶函数，则有f(x)f(x)，可求得m0，即f(x)21，又

xlog142log32,所以022log3214,2log2514,c0,即cab，故本题的正确选

3项为B. 二．填空题

x1,0x19．已知函数f(x)x1，设ab0，若f(a)f(b)，则bf(a)的取值范围2,x124y是____．

32321–1o3bf(a)2 413【解析】由图可知，b1，f(a)2，且b,f(a)的值依次增大， 3–2223均为正值，所以bf(a)2．

4【答案】

O–1–2–3–41234xx21x010．已知函数fx2，若函数gxfxm有3个零点，则实数mx2xx0的取值范围是 ． 【答案】0,1

x21,x0【解析】函数f(x)，可画出图象如图，函数g(x)f(x)m有三个

2(x1)1,x0零点，知f(x)m有三个零点，由图象可知，实数m的取值范围是0,1．

11．已知函数fx2x2x，若不等式fx2axaf30对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】2a6

【解析】y2x,y2x在R分别为增函数．减函数，则fx2x2x为增函数； Qfx2x2xf(x)，f(x)在R为奇函数；Qfx2axaf30，

fx2axaf3，fx2axaf3，x2axa3，x2axa30在R上恒成立，(a)241(a3)0，a24a120，

2a6.

三．解答题 12．已知函数f(x)11xa1. aa1（Ⅰ）证明：yf(x)在R上是增函数；

（Ⅱ）当a2时，方程f(x)2x1的根在区间(k,k1)(kZ)内，求k的值. 【解析】（Ⅰ）证明： QxR， 设x1x2,

11ax1ax2则f(x1)f(x2)ax, ax2x1x21a1a1(1a)(1a)Qx1x2, 且a1, ax1ax20.

又(1a1)(1a2)0, f(x1)f(x2)0, 即f(x1)f(x2),f(x)为增函数. （Ⅱ）解：令g(x)f(x)2x1，

当a2时，由（Ⅰ）知，函数f(x)是R上的增函数， 所以，函数g(x)是R上的增函数且连续， 又g(0)f(0)110,g(1)xx70. 所以，函数g(x)的零点在区间0,1内， 6即方程f(x)2x1的根在区间0,1内，所以k0.

2xa13．已知f(x)x是奇函数.

21（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）试判断函数fx的单调性并加以证明；

（Ⅲ）对任意的xR，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）方法一：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，

1a2x1 即 0 所以a1 ，此时 f(x)x2212x112x2x1xf(x) ，故a1成立 因f(x)x2112x21 方法二：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)0

2xa2xax0，化简得(1a)(22x2x)0，所以 a1 即x2121 （2）设x1x2，则2122 即 21220

xxxx222(2x12x2))(1x2)x10 f(x1)f(x2)(1x21121(21)(2x21) 所以fx是单调递增函数. （3）因为f(x)121，要使不等式f(x)m对任意的xR恒成立， 2x1 只要m1，所以实数m的取值范围是{m|m1}

14．已知函数f(x)ba（其中a,b为常数且a0,a1）的图象经过点A(1,6),B(3,24). （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若对于任意的x(,1],()x()xm0恒成立，求m的取值范围； （3）若g(x)x1a1bxf(x)，试用定义法证明g(x)在区间[1,)上单调递减. x22(x1)ba6a2xf(x)32【解析】（1） 即 3b3ba24（2）m()(),x(,1] 恒成立

13x12x1x23x（3）g(x)2

x1x而(()())min1311555 m m(,]

66236证明：对1x1x2，有

g(x1)g(x2)3x13x23(x2x1)(x1x21)0 2222x11x21(x11)(x21)即g(x1)g(x2) g(x) 在[1,)上单调递减

x15．已知函数f(x)(xa)x2，g(x)2x2，其中aR.

（Ⅰ）写出f(x)的单调区间（不需要证明）；

（Ⅱ）如果对任意实数m[0,1]，总存在实数n[0,2]，使得不等式f(m)g(n)成立，求实数a的取值范围.

(xa)(x2),x2,【解析】（1）f(x)

(xa)(x2),x2.①当a2时，f(x)的递增区间是(,)，f(x)无减区间； ②当a2时，f(x)的递增区间是(,2),(a2a2,)；f(x)的递减区间是(2,)；

22③当a2时，f(x)的递增区间是(,a2a2),(2,)，f(x)的递减区间是(,2)． 22（2）由题意，f(x)在[0,1]上的最大值小于等于g(x)在[0,2]上的最大值． 当x[0,2]时，g(x)单调递增，∴[g(x)]maxg(2)4． 当x[0,1]时，f(x)(xa)(x2)x(2a)x2a．

2①当

a20，即a2时，[f(x)]maxf(0)2a． 2由2a4，得a2．∴a2；

a2a2a24a41，即2a0时，[f(x)]maxf()②当0． 224a24a44，得2a6．∴2a0； 由

4③当

a21，即a0时，[f(x)]maxf(1)1a． 2由1a4，得a3．∴a0．

综上，实数a的取值范围是[2,)．