金属杨氏模量的测定

杨氏模量是表征固体材料抵抗形变能力的重要物理量，是工程材料重要参数，它反映了材料弹性形变与内应力的关系，它只与材料性质有关，是工程技术中机械构件选材时的重要依据。本实验采用液压加力拉伸法及利用光杠杆的原理测量金属丝的微小伸长量，从而测定金属材料的杨氏模量。

一、 实验目的

（1） 学会测量杨氏弹性模量的一种方法

（2） 掌握光杠杆放大法测量微小长度的原理 （3） 学会用逐差法处理数据

二、仪器和量具

数显液压杨氏模量仪，光杠杆和标尺望远镜，钢卷尺，螺旋测微计。

三、原理

1．拉伸法测量钢丝的杨氏模量

任何物体在外力作用下都要产生形变，可分为弹性形变和塑性形变。弹性形变在外力作用撤除后能恢复原状，而塑性形变则不能恢复原状。发生弹性形变时，物体内部产生的企图恢复物体原状的力叫做内应力。对固体来讲，弹性形变又可分为4种：伸长或压缩形变、切变、扭变、弯曲形变。本实验只研究金属丝沿长度方向受外力作用后的伸长形变。

取长为L，截面积为S的均匀金属丝，在两端加外力F相拉后，则作用在金属丝单位面积上的力

FL为正应力，相对伸长定义为线应变。根据胡克定律，物体在弹性限度范SL围内，应变与应力成正比，其表达式为

FLY （1） SL式中Y称为杨氏模量，它与金属丝的材料有关，而与外力F的大小无关。由于L是一个

微小长度变化，故实验常采用光杠杆法进行测量。

2．光杠杆法测量微小长度变化

放大法是一种应用十分广泛的测量技术，有机械放大、光放大、电子放大等。如螺旋测微计是通过机械放大而提高测量精度的，示波器是通过将电子信号放大后进行观测的。本实验采用的光杠杆法属于光放大。光杠杆放大原理被广泛地用于许多高灵敏度仪表中，如光电反射式检流计、冲击电流计等。

反射镜 3 标

2 C 尺 1

B 图1(b)

A 图1(a) B C

光杠杆如图1（a）、1（b）所示，在等腰三角形板1的三个角上，各有一个尖头螺钉，底边连线上的两个螺钉B和C称为前足尖，顶点上的螺钉A称为后足尖，A到前两足尖的连线

1

BC的垂直距离为b，如图3（a）所示；2为光杠杆倾角调节架；3为光杠杆反射镜。调节架可使反射镜作俯仰角调节。测量标尺在反射镜的侧面并与反射镜在同一平面内,如图1（b）所示。测量时两个前足尖放在杨氏模量测定仪的固定平台上，后足尖则放在待测金属丝的测量端面上，该测量端面就是与金属丝下端夹头相固定连接的水平托板。当金属丝受力后，产生微小伸长，后足尖便随测量端面一起作微小移动，并使光杠杆绕前足尖转动一微小角度，从而带动光杠杆反射镜转动相应的微小角度，这样标尺的像在光杠杆反射镜和调节反射镜之间反射，便把这一微小角位移放大成较大的线位移。这就是光杠杆产生光放大的基本原理。

光杠杆 反射镜A 标尺 B 2 4 D 调节反射镜 标尺 光杠杆反射镜A P1 ΔL  b 1 P02 望远镜 调节反射镜 望远镜 图2（a）

图2（b）

图2(a)为光杠杆放大原理示意图。标尺和观察者在两侧，如图2（b）所示。当光杠杆反射镜的后足尖下降△L时，产生一个微小偏转角，在望远镜尺上读到的标尺读数P1P0即为放大后的钢丝伸长量N，常称作视伸长。当θ角很小时，tanθ≈θ,tan4θ≈4θ,则由图可知

Lbtanb

NP1P0Dtan44D

bN (2) 4D4D由式（2）可知，光杠杆的作用是将L放大为标尺上相应的读数差N，L被放大了倍。

b则 L把式（2）代入式（1）中，式中Sd24，可得杨氏模量的测量公式：

16FLD （3） 2dbN式中b称为光杠杆常数或光杠杆腿长，d为金属丝的直径。

Y

A na b B D 图3（a）

2

f nb C

图3（b）

D为反射平面镜到标尺的距离，用光学方法测量：调节望远镜的目镜，聚焦后可清晰地

看到叉丝平面上有上、中、下三条平行基准线，如图3(b)所示，其中心分别记为na、f、nb，中间基准线称为测量准线，用于读取金属丝长度变化的测量值n1,n2„„,上下两条准线称为辅助准线。根据光学原理可以导出 D100视距 （4） 3视距即为图3（b）中的︱na-nb︱的距离。

四、实验装置

本实验装置是由“数显液压加力杨氏模量拉伸仪”和“光杠杆”组成。数显液压加力杨氏模量拉伸仪如图4所示，金属丝上下两端用钻头夹具夹紧，上端固定于双立柱的横梁上，下端钻头卡的连接拉杆穿过固定平台中间的套孔与拉力传感器相连。加力装置施力给传感器，从而拉伸金属丝。所施力大小由电子数字显示系统显示在液晶显示屏上。加力大小由液压调节阀改变。

杨氏模量仪数显液晶屏 连接管 液压调节阀

接口 图4

液压调节五、实验内容与步骤

（1）调节底脚，使杨氏模量测定仪上的水准器的水泡居中，保持杨氏模量仪的立柱铅直，平台水平。

（2）将光杠杆的前足尖放在固定平台上，后足尖放在测量端面托板的平面上，并使其反射镜面基本在竖直面内，否则应调节光杠杆的倾角调节螺钉。

（3）调节望远镜筒与光杠杆镜面位于同一高度，并调节望远镜的倾角螺钉，使望远镜基本水平，然后将望远镜瞄准光杠杆镜面，用“三点成一线”的方法通过望远镜找到标尺的像，若找不到，应调节光杠杆和反射镜倾角螺钉和望远镜的位置。（三点即为：望远镜上的V型口，望远镜的锥形尖，光杠杆镜面里标尺的像）

（4）调节望远镜的目镜焦距看清叉丝平面的三条准线；调节物镜焦距看清反射回的标尺像。

（5）测量：

（a）按下数显测力秤的“开/关”键，打开标尺的照明灯。待显示器出现“0.000”后，用液压螺杆加力，显示屏上会出现所施拉力（注意：顺时针转动螺杆为加力方向，逆时针转动为减力方向）。

（b）首先将数显拉力从8Kg开始，每间隔2Kg记录标尺读数n0,n1,n3,n4,n5,n6,n7,n8,n9。隔数分钟后，连续减载，每减少2kg观测一次标尺读数。读取十组数据，填入记录表格中。注意，由于存在弛豫时间，一定要等数显拉力值完全稳定后才能记录标尺读数。

（c）为测量数据准确，重复上述步骤(b)。

3

（d）用螺旋测微计分别测出钢丝上、中、下3个部位的直径d；然后用钢卷尺测量钢丝的原长L；D由公式（4）得出，D,L各测一次。

（e）b的测量方法是，将光杠杆放在一张平放的纸上，压出3个足痕，用游标卡尺量出足尖到两前足尖连线的垂直距离b。因b实验中已给出，所以不用测量。

（f）测量完毕将液压调节螺杆逆时针旋转，使测力秤指示“0.000”附近后，再关掉测力秤“电源”。

六、数据表格与数据处理

表1 标尺读数记录 次数 拉力示值（kg） 第一次 加 载 标尺读数(mm) 第二次 加 载 减 载 平均2 逐差1 逐差2 逐差值(mm) 减 平均载 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8．00 10．00 12．00 14．00 16．00 18．00 20．00 22．00 24．00 26．00 N1P5P0N2P6P1N3P7P2N4P8P3N5P9P4N′ 总平均N

表2 钢丝直径d(mm)的测量 8kg 26kg 平均值 d d d 1(d上dd中d3＋d下d） d上 d上d上  d中 d下1、

 d中 d下 d中 1(d上d中 3 ＋d下） d下 b= 85.0mm ,D= ,L=

数据处理与结果表达

4

（1） 由表格的数据，计算出钢丝的杨氏模量的平均值

Y16FLD

d2bN 式中F=10×9.80N。

（2） 计算直接测得量d、N、L、D、b的相对误差，指出实验结果产生误差的主 要因素。各仪器的额定误差查阅本书。

（3）用算术合成法估算Y的相对误差EY 和绝对误差Y，测量结果表示为YYY，式中Y的单位用N/mm 。

七、思考题

（1）杨氏模量测量数据N若不用逐差法而用作图法，如何处理?

（2）两根材料相同但粗细不同的金属丝，它们的杨氏模量相同吗？为什么？ （3）利用光杠杆测量长度微小变化有何优点？如何提高它的灵敏度？

（4）本实验使用了哪些测量长度的量具？选择它们的依据是什么？它们的仪器误差各是多少？

（5）试证明：若测量前光杠杆反射镜与调节反射镜不平行，不会影响测量结果。

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