高中物理必修二《万有引力与航天》知识提纲典型习题,以及单元检测习题和答案

第六章 【万有引力与航天】知识提纲

一、知识网络

托勒密：地心说

人类对行 哥白尼：日心说

星运动规 开普勒 第一定律〔轨道定律〕

行星 第二定律〔面积定律〕

律的认识 第三定律〔周期定律〕

运动定律

万有引力定律的发现

万有引力定律的内容 万有引力定律 F＝G

m1m2 2r 引力常数的测定

gR2 万有引力定律 称量地球质量M＝

G42r3 万有引力 的理论成就 M＝ 2GT

42R3 与航天 计算天体质量 r＝R,M=

GT2gR2 M=

G42r3 人造地球卫星 M=

GT2v2Mm 宇宙航行 G2= m

rr mr

ma

第一宇宙速度7.9km/s 三个宇宙速度 第二宇宙速度11.2km/s 地三宇宙速度16.7km/s

2.

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二、重点内容讲解 1、计算重力加速度

〔1〕在地球外表附近的重力加速度，在忽略地球自转的情况下，可用万有引力定律来计算。

M5.98*1024112F引=G2=6.67*10*=9.8(m/)=9.8N/kg s32R(6730*10)即在地球外表附近，物体的重力加速度g＝9.8m/s。这一结果说明，在重力作用下，物体加速度大小与物体质量无关。

〔2〕即算地球上空距地面h处的重力加速度g’。有万有引力定律可得：

2GMg'GMR2R2g’＝又g＝，∴＝，∴g’＝()g 22g(Rh)2RhR(Rh)〔3〕计算任意天体外表的重力加速度g’。有万有引力定律得： g’＝

g'M'R2GM'GM〔M’为星球质量，R’卫星球的半径〕，又g＝，∴＝•()。 22gMR'RR'注意：在地球外表物体受到地球施与的万有引力与其重力是合力与分力的关系，万有引力的

另一个分量给物体提供其与地球一起自转所需要的向心力。由于这个向心力很少，我们可以忽略，所以在地球外表的物体F引=G 2、天体运行的根本公式

在宇宙空间，行星和卫星运行所需的向心力，均来自于中心天体的万有引力。因此万有引力即为行星或卫星作圆周运动的向心力。因此可的以下几个根本公式。

〔1〕向心力的六个根本公式，设中心天体的质量为M，行星〔或卫星〕的圆轨道半径为r，那么向心力可以表示为：F

引

=F

向，

Fn＝G

Mm＝ma＝2rv2222m=mr=mr()=mr(2f)2=mv。 rT〔2〕五个比例关系：〔r为行星的轨道半径〕 向心力：Fn＝G

Mm1，F∝； 22rrM1向心加速度：a=G2, a∝2；

rrv2MmGM

① G2＝m；得v＝

r rr

②G

，v∝

1r；

Mm1GM2＝m r；得＝，∝； 33r2rrMm22③G2＝mr()；得T＝2Tr

r33，T∝r； GM.

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〔3〕v与的关系。在r一定时，v=r,v∝;在r变化时，如卫星绕一螺旋轨道远离或靠近中心天体时，r不断变化，v、也随之变化。根据，v∝为非线性关系，而不是正比关系。 3、引力常量的意义

1r和∝

1r3，这时v与Mm22r3GMk.这实际根据万有引力定律和牛顿第二定律可得：G2＝mr()∴2T42Trr3上是开普勒第三定律。它说明2k是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体

T的质量。在实际做题时，它具有重要的物理意义和广泛的应用。它同样适用于人造卫星的运动，在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式。 4、估算中心天体的质量和密度

〔1〕中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：

42r3Mm22G2＝mr( )， ∴M＝2GTTr〔2〕中心天体的密度

方法一：中心天体的密度表达式ρ＝

M33，V＝R〔R为中心天体的半径〕，根据前V43r3面M的表达式可得：ρ＝。当r＝R即行星或卫星沿中心天体外表运行时，ρ＝23GTR3。此时外表只要用一个计时工具，测出行星或卫星绕中心天体外表附近运行一周的时GT2间，周期T，就可简捷的估算出中心天体的平均密度。

gR2GMM3g方法二：由g=2,M=进行估算，ρ＝，∴ρ＝

GV4GRR

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5、稳定运行与变轨运行 〔1〕稳定运行：

某天体m围绕某中心天体M稳定做圆周运动时，始终满足F引=F向，即：

GMmmv2GM 所以v＝，故r越大时，v越小；r越小时，v越大； 2rrr〔2〕变轨运行：

GMmmv2某天体m最初沿某轨道1稳定做圆周运动满足，由于某原因其v变大，此时r2rmv2GMm其所需要的向心力Fn变大，万有引力F引缺乏以提供向心力时，m就做离2rr心运动，运动到较高轨道2做稳定的圆周运动，此时v比原轨道1处的v小；反之，假设在

轨道1处v突然变小时，将会到较低轨道3稳定运行，此时v比原轨道1要大；

三、常考模型规律例如总结 1. 对万有引力定律的理解

〔1〕万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。 〔2〕公式表示：F=

Gm1m2。 2r〔3〕引力常量G：①适用于任何两物体。 ②意义：它在数值上等于两个质量都是1kg的物体〔可看成质点〕相距1m时的相互作用力。

-1122

③G的通常取值为G=6。67×10Nm/kg。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。

〔4〕适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。

②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可以直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。

③当所研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。〔此方法仅给学生提供一种思路〕 〔5〕万有引力具有以下三个特性：

①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体〔大到天体小到微观粒子〕间的相互吸引力，它是自然界的物体间的根本相互作用之一。

②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。

③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义，在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计。

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〖例1〗设地球的质量为M，地球的半径为R，物体的质量为m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的选项是：

A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。

A、 物体距地面的高度为h时，物体与地球间的万有引力为F=B、 物体放在地心处，因r=0，所受引力无穷大。 D、物体离地面的高度为R时，那么引力为F=

GMmh2。

GMm 24R〖答案〗D 〖总结〗〔1〕矫揉造作配地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律，物体对地球与地球对物体的引力大小相等。 〔2〕F=

Gm1m2。中的r是两相互作用的物体质心间的距离，不能误认为是两物体外表间r2的距离。 〔3〕F=

Gm1m2适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能2r看为质点，应选项C的推理是错误的。

〖变式训练1〗对于万有引力定律的数学表达式F=

Gm1m2，以下说法正确的选项是： 2rA、公式中G为引力常数，是人为规定的。 B、r趋近于零时，万有引力趋于无穷大。

C、m1、m2之间的引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关。 D、m1、m2之间的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力。 〖答案〗C

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2. 计算中心天体的质量

解决天体运动问题，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作匀速圆周运动，处在圆心的天体称作中心天体，绕中心天体运动的天体称作运动天体，运动天体做匀速圆周运动所需的向心力由中心天体对运动天体的万有引力来提供。

GMmmv2222mrmr()ma式中M为中心天体的质量,Sm为运动天体的2rTr质量,a为运动天体的向心加速度,ω为运动天体的角速度,T为运动天体的周期,r为运动天

体的轨道半径.

(1)天体质量的估算

通过测量天体或卫星运行的周期T及轨道半径r,把天体或卫星的运动看作匀速圆周运

42r3GMm22动.根据万有引力提供向心力,有 mr(),得M22GTTr注意:用万有引力定律计算求得的质量M是位于圆心的天体质量(一般是质量相对较大

的天体),而不是绕它做圆周运动的行星或卫星的m,二者不能混淆.

用上述方法求得了天体的质量M后,如果知道天体的半径R,利用天体的体积

M3r343如果卫星在天体外表运行,那么VR,进而还可求得天体的密度.VGT2R33r=R,那么上式可简化为3 2GT规律总结:

① 掌握测天体质量的原理,行星(或卫星)绕天体做匀速圆周运动的向心力是由万有引力来

提供的.

② 物体在天体外表受到的重力也等于万有引力.

③ 注意挖掘题中的隐含条件:飞船靠近星球外表运行,运行半径等于星球半径. (2)行星运行的速度、周期随轨道半径的变化规律

研究行星〔或卫星〕运动的一般方法为：把行星〔或卫星〕运动当做匀速圆周运动，向

GMmmv2222mrmr() 心力来源于万有引力，即：2rTr根据问题的实际情况选用恰当的公式进行计算，必要时还须考虑物体在天体外表所受的万有引力等于重力，即

GMmmg 2R.

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〔3〕利用万有引力定律发现海王星和冥王星

〖例2〗月球绕地球运动周期T和轨道半径r，地球半径为R求〔1〕地球的质量？〔2〕地球的平均密度？ 〖思路分析〗

（1） 设月球质量为m，月球绕地球做匀速圆周运动，

42r3GMm22那么： mr() ，M22TGTr〔2〕地球平均密度为M43R33r3 23GTR42r33r3答案：M ； 

GT2R3GT2总结：①运动天体周期T和轨道半径r，利用万有引力定律求中心天体的质量。

②求中心天体的密度时，求体积应用中心天体的半径R来计算。 〖变式训练2〗人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，该行星的半径为R，探测器运行轨道在其外表上空高为h处，运行周期为T。

〔1〕该行星的质量和平均密度？〔2〕探测器靠近行星外表飞行时，测得运行周期为T1，那么行星平均密度为多少？

42(Rh)333(Rh)3答案：〔1〕M； 〔2〕 2GT2GT2R3GT1

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3. 地球的同步卫星〔通讯卫星〕

同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。

同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。

设地球质量为m，地球的半径为R=6.4×10m，卫星的质量为m，根据牛顿第二定律G6mmR+h22π=mR+h

T22设地球外表的重力加速度g=9.8ms，那么

Gm=R2g

以上两式联立解得：

R+h=3RTg3=4π2=4.2×107m226.4×106×24×3600×9.8224×3.142m

同步卫星距离地面的高度为

h=4.2×107－6.4×106m=3.56×107m

同步卫星的运行方向与地球自转方向相同

注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球外表做圆周运动的卫星的区别 在有的问题中，涉及到地球外表赤道上的物体和地球卫星的比拟，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。

地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小局部，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力〔请同学们思考：假设地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？〕而围绕地球外表做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。

赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运

4π2R 动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度a=T20.034ms2；而绕地球外表运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，

它的周期可以由下式求出：

Mm4π2 G2=m2R

RT.

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R3求得T=2π，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期

GMT约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度a=向心加速度。

[例3] 地球的半径为R=6400km，地球外表附近的重力加速度g=9.8ms，假设发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？

[思路分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。

2GM2远大于自转时=9.8ms2RGGMm=mg ① 2RMmR+h22π=mR+h ②

T2由①②两式得

RTgh=-R324π3.56107m3226400102436003229.843.142m6400103m

又因为GMmR+h2v2=m ③

R+h由①③两式得

v=6400109.8ms3.1103ms RgR+h64001033.561072327[答案]：h3.5610mv3.110ms

23MmMm2π=mR+h[总结]：此题利用在地面上G2=mg和在轨道上G两式联立2RTR+h解题。

[变式训练3]

下面关于同步卫星的说法正确的选项是〔 〕

A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定

B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小

C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低

D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小 [答案]：ACD

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万有引力与航天单元测试题

一、选择题

1．关于万有引力定律的表达式F=G

m1m2，下面说法中正确的选项是 〔 〕 2rA．公式中G为引力常量，它是由实验测得的 B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大

C．m1与m2相互的引力总是大小相等，方向相反是一对平衡力

D．m1与m2相互的引力总是大小相等，而且与m1、m2是否相等无关

2．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球 仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，那么与开采前相比 〔 〕 A．地球与月球间的万有引力将变大 B．地球与月球间的万有引力将变小 C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短

3．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，假设从地球上高h处平抛一物体， 射程为60m，那么在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为 〔 〕 A．10m B．15m C．90m D．360m 4．如图中的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上， 对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言 〔 〕 A．卫星的轨道可能为a B．卫星的轨道可能为b C．卫星的轨道可能为c D．同步卫星的轨道只可能为b

5．目前的航天飞机飞行的轨道都是近地轨道，一般在地球上空300~700km飞行，绕地球飞行一周的时间为90min左右。这样，航天飞机里的宇航员在24h内可以见到的日出日落的次数为 〔 〕

A．0.38 B．1 C．2.7 D．6

6．一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，假设使发射速度为2v，那么该卫星可能 〔 〕

A．绕地球做匀速圆周运动，周期变大 B．绕地球运动，轨道变为椭圆

C．不绕地球运动，成为太阳系的人造行星 D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙

7．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，那么这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是〔 〕 A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等

B．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等

D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 8．人造地球卫星的轨道半径越大，那么 〔 〕

A．速度越小，周期越小 B．速度越小，周期越大 C．速度越大，周期越小 D．速度越大，周期越大

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9．三个人造地球卫星A、B、C在地球的大气层外沿如下图的方向做匀速圆周运动，mA=mB＜mC，那么三个卫星( )

A．线速度大小的关系是vA＞vB=vC B．周期关系是TA＜TB=TC

333RCRARBC．向心力大小的关系是FA=FB＜FC D．轨道半径和周期的关系是2=2=2

TATBTC

10．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道 〔 〕 A．与地球外表上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆 B．与地球外表上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C．与地球外表上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球外表是静止的 D．与地球外表上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球外表是运动的

22abc11．地球同步卫星到地心的距离r可由r3=求出，式中a的单位是m，b的单位是s，24c的单位是m/s2，那么〔 〕

A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球外表处的重力加速度 B．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度 C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度

D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球外表处的重力加速度

12．同步卫星周期为T1，加速度为a1，向心力为F1；地面附近的卫星的周期为T2，加速度为a2，向心力为F2，地球赤道上物体随地球自转的周期为T3，向心加速度为a3，向心力为F3，那么 〔 〕

A．T1=T3≥T2 B．F1＜F2=F3 C．a1＜a2 D．a2＜a3 二、填充题

13．地球半径为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看作为匀速圆周运动，那么可估算出月球到地球的距离为________m. 〔结果只保存一位有效数字〕 14．“黑洞〞是一个密度极大的星球，从黑洞发出的光子，在黑洞的引力作用下，都将被黑洞吸引回去，使光子不能到达地球，因而地球上观察不到这种星球，因此把这种星球称为黑洞，有一频率为乙的光子，沿黑洞外表出射，恰能沿黑洞外表以第一宇宙速度做匀速圆周运动，运行周期为T，此黑洞的平均密度=__________.

15．假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，恰观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，假设该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又地球的同步卫星绕地球运动的轨道半径约为地球半径的6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为____________.

16．中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察某中子星的自转角速=60rad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度。

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试写出中子星的密度最小值的表达式为=__________，计算出该中子星的密度至少为___________kg/m3。(假设中子通过万有引力结合成球状星体，保存2位有效数字。)

17．某小报登载：×年×月×日，×国发射一颗质量100kg，……，周期为1h的人造环月天体，一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径约为地球的

11，月球外表重力加速度约为地球的，经过推理，他认定该报道是那么假新闻，46试写出他的论证方案.(地球半径约为6.4×103km)______________ __________________

三、计算题 18．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重，假设存在这样的星球，它的半径R应多大？

19．某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以a=

1g的加速度随2火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时，卫星距地球外表有多远？(地球半径R地=6.4×103km，g=10m/s2) 20．一般宇宙飞船进入靠某行星外表的圆形轨道，宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的平均密度？说明理由.

21．人造地球卫星沿椭圆形轨道绕地球运行，近地点A到地球中心C的距离为a，远地点B到地球中心的距离为b，卫星在近地点A处的速率为vA，卫星在远地点B处的速度vB多大？

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万有引力与航天单元测试题

【参考答案】

1．AD 2．BD 3．A 4．BCD 5．D 6．CD 7．C 8．B 9．ABD 10．CD 11．AD 12．AC 13．4×108

323 14． 15．4h 16．，1.3×1014 17．环月做匀速圆周 24GGTavA b运动的天体其周期不可能是1h，所以报道是假新闻 18．R=1.85×107m 19．h=1.92×104km 20．由=3

GT2即可测出 21．vB=

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