高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案

§不等式与不等关系

1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是： v40

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于%，蛋白质的含量p应不少于%，写成不等式组就是——用不等式组来表示f2.5%

p2.3%问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则d|AB|。

问题2：某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高元，销售量就可能相应

减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为(8低于20万元”可以表示为不等式

…

x2.50.2)x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不0.1

(8x2.50.2)x20

0.1问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢

解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。

500x600y4000;3xy;要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

x0;y0.§不等式与不等关系

回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若abacbc

\\

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若ab,c0acbc （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若ab,c0acbc

1、不等式的基本性质：

证明以上的不等式的基本性质

证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c 2）(ac)(bc)ab0，∴acbc． *

实际上，我们还有ab,bcac，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）ab,bcac （2）abacbc

（3）ab,c0acbc （4）ab,c0acbc 2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）ab,cdacbd； （2）ab0,cd0acbd；

nn（3）ab0,nN,n1ab;nanb。

证明：

[

1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c． ①,∵c＞d，∴b＋c＞b＋d．②,由①、②得 a＋c＞b＋d．

2）

ab,c0acbcacbd

cd,b0bcbdn3）反证法）假设na[范例]：

nb，则：若

aannbabbabn这都与ab矛盾， ∴nanb．

cc。 ab11111cc0。于是 ab，即,由c<0 ，得 证明：以为ab0，所以ab>0,abababbaab例1、已知ab0,c0,求证 3.随堂练习1

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

#

(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2； （3）1 521；(4)当a＞b＞0时，log1a log1b

6522答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]

例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： @

（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0 ∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）

随堂练习2

1、 比较大小：（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2 （2）x5x6与2x5x9

22

4.小结 学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论

§一元二次不等式及其解法

-

2.新课 1）一元二次不等式的定义

象x5x0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 2）探究一元二次不等式x5x0的解集 怎样求不等式（1）的解集 探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

<

22

容易知道：二次方程的有两个实数根：x10,x25,二次函数有两个零点：x10,x25 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数yx5x的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x5x0； 当0所以，不等式x5x0的解集是x|0x5，从而解决了本节开始时提出的问题。

22223）探究一般的一元二次不等式的解法

：

22任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：axbxc0,(a0)或axbxc0,(a0) 一般地，怎样确定一元二次不等式axbxc>0与axbxc<0的解集 总结讨论结果：

（l）抛物线 yaxbxc（a> 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 axbxc=0的判别式b4ac三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论 （2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式axbxc>0与axbxc<0的解集 一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222222222

2设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，

2—

则不等式的解的各种情况如下表：

》 0 yax2bxc 0 \" 0 yax2bxc yax2bxc 二次函数 yax2bxc （a0）的图象 一元二次方程 axbxc02 | 有两相异实根 x1,x2(x1x2) 有两相等实根x1x2b 2aa0的根axbxc0(a0)的解集2 无实根 xxx或xx 12bxx 2a- Rax2bxc0(a0)的解集[范例]

例2 求不等式4x4x10的解集.

￥

xx1xx2   2

2解：因为0,方程4x4x10的解是x1x2例3解不等式x2x30.

21.,所以，原不等式的解集是xx21 2

2解：整理，得x2x30.,因为0,方程x2x30无实数解，

2所以不等式x4.小结

22x30的解集是.，从而，原不等式的解集是.

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A=axbxc>0(或<0)(a>0) ② 计算判别式，分析不等式的解的情况：

】

2

若A0，则xx1或x2；ⅰ.>0时，求根x1若A0，则xxx.12若A0，则xx0的一切实数；ⅱ.=0时，求根x1＝x2＝x0，若A0，则x；

若A0，则xx.0若A0，则xR；ⅲ.<0时，方程无解，

若A0，则x.③ 写出解集.

§一元二次不等式及其解法

2.新课 [范例]

例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：

'

s112xx 20180在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少（精确到0.01km/h） 解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h，根据题意，我们得到移项整理得：x9x71100 显然

2112xx39.5 201800，方程x29x71100有两个实数根，即

x188.94,x279.94。所以不等式的解集为x|x88.94,或x79.94

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y2x220x，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车

#

2

2解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到2x220x6000

移项整理，得x110x30000，因为1000，所以方程x110x30000有两个实数根，

22x150,x260，由二次函数的图象，得不等式的解为：50因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。 [补充例题] （1） 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）

2 例：设不等式axbx10的解集为{x|1x13}，求ab

（2） 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）

22例：设A{x|x4x30},B{x|x2xa80}，且AB，求a的取值范围.

￥

2改：设x2xa80对于一切x(1,3)都成立，求a的范围.

2改：若方程x2xa80有两个实根x1,x2，且x13，x21，求a的范围.

随堂练习2 221x1、已知二次不等式axbxc0的解集为{x|x13或x2}，求关于的不等式cxbxa0的解集.

2、若关于m的不等式mx(2m1)xm10的解集为空集，求m的取值范围. 改1：解集非空

改2：解集为一切实数 4.小结

进一步熟练掌握一元二次不等式的解法

一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

（

22.新课 1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。

|

（把文字语言 转化 符号语言）

（资金总数为25 000 000元）xy25000000 （1）

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）(12%)x+(10%)y30000 即

12x10y3000000 （2）

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）x0,y0 （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

xy2500000012x10y3000000 x0,y02．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形

。

（2）探究

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；

—

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域； 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相

,

同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 【应用举例】

例1 画出不等式x4y4表示的平面区域。

.

解：先画直线x4y4（画成虚线）.。取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原点在x4y4表

示的平面区域内，不等式x4y4表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式4x3y12所表示的平面区域。 变式2、画出不等式x1所表示的平面区域。 例2 用平面区域表示.不等式组y3x12的解集。

x2y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式y3x12表示直线y3x12右下方的区域，x2y表示直线x2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 、

变式1、画出不等式(x2y1)(xy4）0表示的平面区域。

变式2、由直线xy20，x2y10和2xy10围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。 3.随堂练习 §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

2.新课 【应用举例】

例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）： 学段 初中 高中 班级学生人数 《配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 '45 40 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有20xy30

（

考虑到所投资金的限制，得到26x54y22x23y1200。即 x2y40 另外，开设的班数不能为负，则x0,y0

20xy30x2y40把上面的四个不等式合在一起，得到：

x0y0用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

4xy1018x15y66 x0y0在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题]

?

例1、画出下列不等式表示的区域

(1) (xy)(xy1)0； (2) xy2x

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x2x，得x0，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称。 解：(1)xy0xy0矛盾无解，故点(x,y)在一带形区域内（含边界）。 0xy1或xy1xy10xy0(2) 由x2x，得x0；当y0时，有点(x,y)在一条形区域内(边界)；当y0，由对称性得

2xy0出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

{

2xy30例2、利用区域求不等式组2x3y60的整数解

3x5y150分析：不等式组的实数解集为三条直线l1:2xy30，l2:2x3y60，l3:3x5y150所围成的

三角形区域内部(不含边界)。设l1l2A，l1l3B，l2l3C，求得区域内点横坐标范围，取出x的所有整数值，再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。

解：设l1:2xy30，l2:2x3y60，l3:3x5y150，l1l2A，l1l3B，l2l3C，∴A(153751275,)，B(0,3)，C(,)。于是看出区域内点的横坐标在(0,)内，取x＝1，2，3，当x＝1时，84191919y1124代入原不等式组有y⇒y1，得y＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点

5312y5(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。 3.随堂练习2 1．（1）yx1； （2）．xy； （3）．xy

xy60xy02．画出不等式组表示的平面区域

y3x5

、

§3.3.2简单的线性规划

2.新课 1、有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

￥

x2y84x164y12 ……………………………………………………………….（1） x0y0（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大 （4）尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：

当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少

~

把z=2x+3y变形为yz2z2x，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一

3333族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定

z282z，这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线yxx）

33333z与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化

32z为当直线yx与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时

33z截距最大。

3一条直线（y（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现y时，截距

2zx金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）33z14的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最33大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： ；

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

y由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 31、 变换条件，加深理解

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产

品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润在换几组数

21Ox-y=011(B,)22x12-2-1A(2,-1)C(-1,-1)-1x+y-1=02x+y=0

据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗

^

3.随堂练习

1．掌握图解法解决简单的线性规划问题.

yx,（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件xy1,

y1.解：不等式组表示的平面区域如图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0。点（0，0）在直线l0:2x+y=0上. 作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以zmax=2×2-1=3.

yx-y+1=09173x+5y=0(,)A88x-5y-3=01C-1Ox3-1B5x+3y-15=055x3y15,（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件yx1,

x5y3.'

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内

的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（所以zmin=3×(-2)+５×(-1)==3×

917,）的直线所对应的t最大. 88917+5×=14 88

§3.3.2简单的线性规划

2． 若实数x，y满足1xy3 求4x+2y的取值范围．

1xy1错解：由①、②同向相加可求得： 0≤2x≤4 即 0≤4x≤8 ③，由②得 —1≤y—x≤1，将上式与①同向相加得0≤2y≤4 ④，③十④得 0≤4x十2y≤12 以上解法正确吗为什么

[辨析]上述解法中，确定的0≤4x≤8及0≤2y≤4是对的，但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来确定4x十2y的最大(小)值却是不合理的．X取得最大（小）值时，y并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．

%

正解：因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)，且由已有条件有：33(xy)9（5），1xy1（6）， 将（5）（6）两式相加得 24x2y3(xy)(xy)10，所以24x2y10 3.随堂练习1

xy21、求zxy的最大值、最小值，使x、y满足条件x0

y0x4y32、设z2xy，式中变量x、y满足 3x5y25

x14.小结 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

[结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．

！

§基本不等式ab2.新课 3．给出(ab)2ab.证明

22ab

2证明：因为ab2ab(ab)。当ab时,(ab)0,当ab时,(ab)0,

所以，(ab)0，即(ab)2ab.

4．1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得ab2ab，通常我们把上式写作：

22222222abab(a>0,b>0) 2ab 2 2）从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

…

abab (1)

2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证

要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式ab2ab的几何意义 2ab的几何解释吗 2探究： 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB。即ＣD＝ab. ；

这个圆的半径为等号成立.

abab，显然，它大于或等于CD，即ab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，22因此：基本不等式ab评述：1.如果把

ab几何意义是“半径不小于半弦” 2ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：2ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两2两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [例题]

例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)

yx≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. xy分析：在运用定理：条件)，进行变形.

@

abab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的2

解：∵x，y都是正数 ∴

xy＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 yx(1)

xyxyxy2＝2即≥2.

yxyxyx22(2)x＋y≥2xy＞0 x2＋y2≥2xy＞0 x3＋y3≥2∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2xy·2xy＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.练习 1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

&

x3y3＞0

2233

分析：对于此类题目，选择定理：

abab（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.

2解：∵a，b，c都是正数，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ac＞0

∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2ab·2bc·2ac＝８abc，即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 4.小结 重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（

abab），几何平均数（ab）及它们的关系（≥22ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.可以用它们下面的等价变

a2b2ab2

形来解决问题：ab≤，ab≤（）.

22

§基本不等式ab2.新课 #

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少

解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由

2ab 2xyxy， 2可得 xy2100， 2(xy)40。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜

11，其面积S＝x（36－2x）＝·2x2212x362x2362)（36－2x）≤(

282当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9 m时菜园面积最大为81 m2 解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m。由

|

2

xyxy189，可得 xy81

222当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m

M2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，

4＋

等号当且仅当a＝b时成立.

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当

＋

且仅当a＝b时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得l240000720(x

1600) x

2400007202x16001600，当x,即x40时,l有最小值2976000. xx240000720240297600因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 3.随堂练习 1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋

81的值最小最小值是多少 2x4.课时小结 注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

§基本不等式ab2.新课 1）利用基本不等式证明不等式

ab 2246m24。 m24[思维切入]因为m>0,所以可把和6m分别看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。

m例1 已知m>0,求证

[证明]因为 m>0,，由基本不等式得当且仅当

24246m26m224621224 mm24=6m，即m=2时，取等号。 m规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和3.随堂练习1 246m=144为定值的前提条件。 m[思维拓展1] 已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd. [思维拓展2] 求证(ab)(cd)(acbd). 例2 求证:

222224a7. a3[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边

44a(a3)3.这样变形后,在用基本不等式即可得证. a3a3[证明]

4443(a3)32(a3)32437 a3a3a3

当且仅当

4=a-3即a=5时,等号成立. a3规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值 例3 (1) 若x>0,求f(x)4x[思维切入]本题(1)x>0和4x99的最小值;(2)若x<0,求f(x)4x的最大值. xx9=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. x解(1) 因为 x>0 由基本不等式得

f(x)4x9993924x23612,当且仅当4x即x=时, f(x)4x取最小值12. xxx2x(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

999f(x)(4x)(4x)()2(4x)()23612,所以 f(x)12.

xxx当且仅当4x939即x=-时, f(x)4x取得最大-12. x2x规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.

随堂练习2 [思维拓展1] 求f(x)4x[思维拓展2] 若x>0,y>0,且4.课时小结 用基本不等式ab5. 作业 １．证明：ab22a2b ２．若x1，则x为何值时x229(x>5)的最小值. x5281,求xy的最小值. xyab证明不等式和求函数的最大、最小值。 21有最小值，最小值为几 x1