几种特殊的函数
知识点一：指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子
2.n次方根的性质：
叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
.
；当为
，那么叫做的次方根，其中
(1)当为奇数时， (2)
3.分数指数幂的意义：
；当为偶数时，
；
注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质： (1)
(2)
(3)
重庆璧山戴氏精品堂 高一数学1v1 主讲人：陈老师
知识点二：指数函数及其性质
1.指数函数概念 一般地，函数为
2.指数函数函数性质： 函数 名称 定义 函数 指数函数 .
叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域
且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在上是增函数 图象过定点 ，即当 时，. 非奇非偶 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向
重庆璧山戴氏精品堂 高一数学1v1 主讲人：陈老师 象的影响
看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义 (1)若叫做底数，
，则叫做以为底
的对数，记作
，其中
叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：
2.几个重要的对数恒等式
3.常用对数与自然对数 常用对数：
4.对数的运算性质 如果 ①加法：
，那么
，即
；自然对数：
，即
(其中
…).
，
，
.
.
②减法： ③数乘： ④
⑤
⑥换底公式：
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知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地，函数域
2.对数函数性质： 函数 名称 定义 函数 对数函数 .
叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义
且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在上是增函数 图象过定点 ，即当非奇非偶 在上是减函数 时，. 函数值的 变化情况
重庆璧山戴氏精品堂 高一数学1v1 主讲人：陈老师 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 知识点五：反函数
1.反函数的概念 设函数
.如果对于
的定义域为在
，值域为
，从式子
中解出，在
，得式子
中的任何一个值，通过式子
表示是
，习惯上改写成
的函数，函数
.
中都有唯一确定
的
的值和它对应，那么式子反函数，记作
2.反函数的性质 (1)原函数 (2)函数 (3)若
与反函数
叫做函数
的图象关于直线对称.
的值域、定义域.
的定义域、值域分别是其反函数在原函数
的图象上，则
在反函数的图象上.
(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
3.反函数的求法
(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域； (2)从原函数式 (3)将
中反解出
改写成
；
，并注明反函数的定义域.
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知识点六：幂函数
1.幂函数概念 形如
的函数，叫做幂函数，其中
为常数.
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布
在第一、二象限(图象关于
轴对称)；是奇函数时，图象分
布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数 时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在 点
.
，则幂函数的图象过原点，并且在
，则幂函数的图象在
轴.
都有定义，并且图象都通过
(3)单调性：如果
上为增函数.如果
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与 (4)奇偶性：当
为奇数时，幂函数为奇函数，当
为偶数时，
幂函数为偶函数.当 若偶函数， 若
(其中互质，和)，
为奇数为偶数时，则
是
为奇数为奇数时，则是奇函数，若
为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.
，当
时，若
，其图象在直线
(5)图象特征：幂函数
下方，若 方，若
，其图象在直线,
下方.
上方，当
时，若，其图象在直线上
其图象在直线
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