求不定积分的几种常用方法

●　姆　黼　…　一　熬　。　。　●　矿●　●　求　定　◎修风光稀蕊　沈阳１１０１６８）　的函数．　第一换元法，关键是变形到凑微分这一步，故第一换元　（沈阳理工大学理学院，辽宁【摘要】不定积分是高等数学中最重要的概念之一，对　于一个给定的函数，如何求出不定积分，是不定积分研究的　主要问题，也是不定积分的重点和难点．本文把高等数学中　积分法通常也称为凑微分法．　所涉及的不定积分的计算方法进行了归纳总结，并通过若　干典型例题具体地说明每一种方法的使用过程以及注意　例２　ｆＪ　１＋　　ａ．ｒｃｔａｎ，ｘｄ～　．　事项．　【关键词】不定积分；换元积分法；分部积分法；高等　解ｆａ１ｒｃｔ．ａｎ。ｘｄｘ＝ｆ　ａｒｃｔａ眦）ｄ（ａｒｃｔ眦）：一（丁ａｒｃｔａＤ￣）ｚ＋ｃ　数学　三、第二换元法　高等数学是培养学生掌握科学思维能力、掌握数学知　第二类换元法通常用于消去根号，使用这类方法的关　识和数学技术的重要基础课程．通常认为，高等数学是由微　键是积分变量　的一个合适的代换　＝　（ｔ）．其基本步　积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容　骤是：　所形成的一门基础学科．该课程的核心是微积分理论，而后　（１）换元．令　＝　（ｔ），使被积函数容易积出　者是现代科学的理论基础．著名的数学家、计算机的发明者　（２）积分．对积分变量　出积分Ｆ（ｔ）＋Ｃ．　冯诺依曼曾说过：“微积分是近代数学中最伟大的成就，对　（３）回代．把　＝　（ｔ）的反函数ｔ＝　（　）代入所得结　它的重要性无论做怎样的估计都不会过分．”由此可见，微　果，换成原积分变量　的函数．　积分在近代数学发展中的作用．　例３　微分学解决了如何由已知函数求出它的导数或微分的　问题．而在实际问题中，存在许多与此相反的问题．例如，已　知物体的瞬时速度　＝　（ｔ）＝半，如何求出此物体的运　，　解－ｆ　／南　＝２　南）　２（ｔ—ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ＝２（　一ａｒｃｔａｎ　）＋Ｃ　方程ｓ＝ｓ（ｔ）．这类问题很普遍，用数学方法可概括为如何　四、分部积分法　由已知函数的导数求出原来的函数，这就是积分要讨论的　分部积分法的一般步骤是：　中心问题．　积分学是徽积分的主要部分，在高等数学中占有重要　（１）“选／Ｌ，Ｙ”，即把要求的积分　）　改写成』　ｄ　．　地位．而一元函数积分学是积分学的基础，重积分、曲线积　分与曲面积分的计算最终都要化为定积分．从某种意义上　（２）‘‘代公式”，即利用公式化出积分　ｄ“：Ｊ＿“ｄ　＝　一　讲，不定积分处于辅助位置，它的重要性就在于为定积分的　计算提供了一种简便快捷的工具．　ｖｄ“它与所求积分－ｆ　ｄ　相比，不过是把ｕ，　互换了位置．　下面将详细介绍一下在不定积分的计算过程中常用的　（３）“微出来”，即把新积分　ｄ　中的ｄ　微出来，使其成　几种方法．　一、直接积分法　为　ｄｘ．　所谓直接积分法，就是把被积表达式化成积分表中的　形状，然后按积分性质及积分表中的公式直接写出结果．用　（４）‘‘算积分”，即积出ｆ＂ｖ／￣ｌｄ　．　直接积分法求不定积分的关键是对被积表达式进行适当的　分部积分法主要应用于被积函数是两个不同类型的函　变形．　数乘积的积分问题，尤其是被积函数是反三角函数、对数函　例１　ｆ＿　数或幂函数这三类函数与某一个易获得原函数的函数的乘　Ｊ　Ｓｌｎ　ＣＯＳ　．　积的形式．如果遇到被积函数为三角函数与指数函数的乘　解　原式：ｆＪ　ｓ　ｉｎ　ＸＣＯＳ　Ｘ　：ｆＪ　—　ＣＯＳ　ｘ　Ｊ＋ｆ　　ｓｉｎ　ｘ　：　积，可连续进行两次分部积分，得到一个所求积分满足的恒　等式，从而可求得积分．　ｔａｎｘ—ｃｏｔｘ＋Ｃ．　最后，应当指出的是，在求同一不定积分时，可能有很　注意　导数公式表与积分公式表是进行微积分计算的　多种方法，各种方法得到的结果形式上可能不一样，但实际　依据，是高等数学中最基本、最核心的内容，需要大家熟练　上最多差个常数，其结果是否正确可通过求导数，即其导数　掌握．　是否与被积函数一样来验证．不定积分计算的核心是分析　二、第一换元法（凑微　、去Ｊ　被积函数的特点，联想基本积分公式，通过各种手段、不同　与复合函数求导法则相对应，有第一类换元积分法．当　的处理方法，千方百计地向基本公式靠近．求不定积分比求　被积函数厂（　）比较复杂，难以直接求出积分时，如果被积函　导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时却十　数可以分为两个因式的乘积，其中一个因式是复合函数　分灵活，因此，应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能　熟练掌握．　．　（　）］，另一个因式是中间变量的导数　（　）（或只差一　个常数因子），那么就可以引进新的积分变量／ｔ＝妒（　），应　用第一类换元法，其基本步骤是：　【参考文献】　（１）凑微分．这是解题的关键．“凑”得是否恰当，主要　［１］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出　看　）ｄｕ是否容易积出．　版社，２００６．　（２）换元．令ｕ＝　（　），使被积表达式成为　“）ｄｕ的　［２］赵振海．高等数学学习指导与习题全解［Ｍ］．大连：　形式．　大连理工大学出版社，２００４．　（３）积分．对积分变量／Ｌ求出积分Ｆ（ｕ）＋Ｃ．　［３］欧阳光中，姚允龙，等．数学分析［Ｍ］．上海：复旦大　（４）回代．把　＝ｐ（　）代人所得结果，换成原积分变量　学出版社。２００４．　学学习与研究２０１８．７