2020高考数学---指对数比较大小

第41炼 指对数比较大小

在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧

一、一些技巧和方法

1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为0,1和1,

（1）如果底数和真数均在0,1中，或者均在1,中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在0,1中，一个在1,中，那么对数的值为负数 例如：log30.50,log0.50.30,log230等

2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念：

（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况

例如：3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同

13141233131412,44141312,55121612，从而只需比较底数的大小即可

（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知

1loglog3222log4，进而可估计2log23是一个1点几的数，从而便于比较 24、常用的指对数变换公式：

mm（1）aan

（2）logaMlogaNlogaMN logaMlogaNloga（3）logaNnlogaNa0,a1,N0

nnM N

第六章 第41炼 指对数比较大小 不等式

（4）换底公式：logablogcb logca1nn （令cb） logamNlogaN logbam进而有两个推论：logab二、典型例题：

例1：设alog3,blog23,clog32，则a,b,c的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出a1,0b1,0c1，从而a肯定最大，只需比较b,c即可，观察到b,c有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：

11blog23log23,clog32log32，从而可比较出log321log23，所以

22cb

答案：cba

例2：设alog32,bln2,c512，则a,b,c的大小关系是___________

思路：观察发现a,b,c均在0,1内，a,b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：

ab，在比较和c的大小，由于c是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计a,b,c值

得大小：c5进而a1211111，可考虑以为中间量，则alog32log33，

225421c，所以大小顺序为bac 2ln2ln3ln5,b,c, 则a,b,c的大小关系为（ ） 235答案：bac 例3：设aA. abc B. acb C. bac D. bca 思路：观察到a,b,c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的

111ln2ln3ln532ln2,bln3,cln55,发现真数的底与指数也不相同，所比较。a235以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：22通过比较底数的大小可得：bac 答案：C

1211530,331311030,55151630 ，

小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部

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分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”

（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较

a,b:2=212136,3=313126，从而ab，同理再比较a,c或b,c即可

例4：设alog36，blog510，clog714，则（ ）

A. cba B. bca C. acb D. abc 思路：观察可发现：

alog3321log32,blog5521log52,clog7721log72

log32log52log72，所以可得：abc

答案：D

例5：设a,b,c, 则a,b,c的大小关系为（ ）

A. abc B. acb C. bac D. bca 思路：观察可发现b,c的底数相同，a,c的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于

352525352525b,c，两者底数在0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得bc，再比较a,c，两者指

数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以ac，综上：acb 答案：B

例6：已知三个数a3,blog32,ccos0.53，则它们之间的大小关系是（ ） 2A. cba B. cab C. abc D. bca 思路：可先进行0,1分组，a30.51，0b,c1，所以只需比较b,c大小，两者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以cos3331作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。coscos，而22323211log32log33，从而cb，大小顺序为cba

22答案：A

小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c作为研究对象。

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1.13.1例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设alog37,b2,c0.8，则（ ）

A. bac B. acb C. cba D. cab 思路：首先进行0,1分组，可得c1a,b，下面比较a,b的大小，可以考虑以2作为中间量，b2答案：D

1.12,alog37log392，所以a2b，从而cab

1例8：设ab0,ab1且x,ylog11ab,zlog1a，则x,y,z的大小关系

abab是（ ）

A. yxz B. zyx C. yzx D. xyz 思路：由ab0,ab1可得：0bb1a1，先用0,1将x,y,z分堆，x0，2y,z0，则x为最大，只需要比较y,z即可，由于y,z的底数与真数不同，考虑进行适当

变形并寻找中间量。ylog11abog1alog而zlablogabablog1ab1，

ababba，b因为0b1，所以logbalogbb1,zlogba1y，所以顺序为yzx 答案：C

例9：下列四个数：aln2,blnln2,cln2,dln2的大小顺序为________ 思路：观察发现blnln20，其余均为正。所以只需比较a,c,d，考虑ln20,1，所以ad，而cln221ln2d，所以下一步比较a,c：2112acln2ln2ln2ln2ln2ln2lne0，所以ac，综上所述，

22大小顺序为bcad 答案：bcad

11例10：已知a,b,c均为正数，且2log1a,log1b,log2c，则（ ）

2222abcA. abc B. cba C. cab D. bac 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断a,b,c的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：log1a,log1b,log2c均大于0，由对数的

22

第六章 第41炼 指对数比较大小 不等式

1符号特点可得：a,b0,1,c1，只需比较a,b大小即可。观察到2a1，从而

2log1alog1bab，所以顺序为abc

22b答案：A

小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为ylog1x21的形式，而第三个等式也可变形为log2clog1c，从而可以考虑视a,b,c分别

22为两个函数的交点。先作出ylog1x图像，再在这个坐标系中作出

2c11y2x,y,y，比较交点的位置即可。

22

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