《2.3 等差数列的前n项和》测试题
一、选择题
1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120
考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B
解析：设.∴
，
的公差为. ∵
，.
为等差数列
的前
项和，若
，公差
，
，∴两式相减，得
，
2.(2011全国大纲理)设
，则( )
A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由代入，解得
.
是公差为
的无穷等差数列
的前项和，则下列命题错
有
得，
，即
，将
，
3.(2012浙江理)设误的是( ) A.若最大项，则
C.若数列
，则数列
有最大项 B.若数列
，均有
是递增数列，则对任意
D.若对任意，均有，则数列是递增数列 考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C
解析：根据等差数列的前项和公式，可得像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当立的点中一定有最高点，即数列
，因为
，所以其图
时，该抛物线开口向下，所以这群孤
有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正
是，
，与
矛
确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列递增数列，但因为此式对任意盾，所以一定有
．对于选项D的命题，由都成立，当时，有；若，这就证明了选项D的命题为真.
，则
，得
二、填空题 4.(2011湖南理)设
是等差数列
的前
项和，且
，
，则
.
考查目的：考查等差数列的性质及基本运算． 答案：81. 解析：设故
5.(2008湖北理)已知函数
，等差数列
，
的公差为
. 若则
.
的公差为. 由
，
，得
，
. ∴
，
.
考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.
答案：.
解析：∵，∴
是公差为的等差数列，∴
，∴
.
6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若____．
考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10.
解析：设等差数列
，∴
三、解答题 7.设等差数列⑴
的通项公式
的前项和为 及前项和
，且；
，求：
前
项和为
. ∵
，故
，∴.
，
，则，∴
；∵
. ∴
⑵．
考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.
答案：⑴解析：设等差数列⑴⑵由
，得
； .⑵
，解得
；
.
的公差为，依题意，得
.
当当
时，时，
．
，
∴
8.(2010山东理)已知等差数列为．
⑴求
及
；
满足：
，
，的前项和
⑵令，求数列的前项和.
考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.
答案：⑴，；⑵的公差为，因为，
，所以
. ，，
.
，所以有
解析：⑴设等差数列
，解得
⑵由⑴知，所以，所以
，即数列的前项和
.
一、选择题
1.(2009广东文)已知等比数列( ).
的公比为正数，且
，
，则
A. B.
D.2
C.
考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用. 答案：B
解析：设公比为，由已知得的公比为正数，所以
2.(2007天津理)设等差数列中项，则( ).
的公差
，
．若
是与
的等比
，故
，得.
，又因为等比数列
A.2 B.4 C.6
D.8
考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.
答案：B 解析：∵即去).
3.(2010江西理数)等比数列
，则
中，
，
，函数
，∴
；∵
；又∵，∴
是与
的等比中项，∴，解得
，或
，(舍
( )
A. B. D.
C.
考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.
答案：C. 解析：∵∴
二、填空题 4.(2007重庆理)设
的两根，则
为公比
的等比数列，若__________.
和
是方程
是多项式函数，∴
.
的常数项
的一次项系数，
考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．
答案：18.
解析：根据题意，得5.(2009江苏卷)设若数列
，，∴，∴
，令
. ，
是公比为的等比数列，
中，则
有连续四项在集合 .
考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力. 答案：
.
有连续四项在集合，所以这四项只能依次是
中，因为
，所以
解析：根据题意可知，是等比数列，且公比满足公比
，
.
6.(2012辽宁理)已知等比数列则数列
的通项公式
为递增数列，且，，
______________.
考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力. 答案：解析：∵∴
三、解答题
.
，∴，∴
，得，解得
，∴或
；又∵(舍去)，∴
.
，
7.已知数列的首项)都有实数根，且，关于的二次方程
满足.
(，且
⑴求证：⑵求
是等比数列；
的通项公式.
考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关
系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：⑴略；⑵．
解析：⑴由题设可得，
，得
为
(
，且
，. 所以)，又
(，且，即，所以
)；又由(
)，化
是首项为，
公比为的等比数列.
⑵由⑴的结论，得
，所以的通项公式为．
8.(2012广东文)设数列
，
.
前项和为，数列的前项和为，满足
⑴求的值； ⑵求数列
的通项公式.
考查目的：考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想，考查分析问题解决问题的能力.
答案：⑴解析：⑴当⑵当
时， ①，∴
. ∵
. 所以
，
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；⑵时，
. . 因为
，所以
，求得，∴
②. ②①得 ，易求得
，∴
，所以，∴
，故所以
.
是以3为首项，2为公比的等比数列，.
一、选择题
1.(2007陕西理)各项均为正数的等比数列则
的前项和为
，若
，
，
( )
A.16 B.25 C.30 D.80
考查目的：考查等比数列的前项和公式及运算求解能力. 答案：C.
解析：由②式除以①式，得
2.(2010天津理)已知则数列
是首项为的等比数列，
是
的前项和，且
，
，
可知，
的公比
(
，∴
①，
②，. ∴
，解得.
舍去)，代入①，得
的前项和为( )
A.或 B.或 C.
D.
考查目的：考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质. 答案：C 解析：设，得
的公比为，若
，得
，则，所以
，，因此
，不合题意，所以
. 由
是首项为1，公比为的
等比数列， 故前5项和为
.
3.设等比数列的前项和为，若，则等于( ) A. B. C. D.
考查目的：考查等比数列前项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力. 答案：A.
解析：解法
1：若公比
，
得
，则
，.
解法2：由，∴
二、填空题
4.在等比数列中，已知， .
考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想． 答案：1或
.
则
公比
，
可知，公比也成等比数列，及，故
(否则有，.
).设
，则，得
，根据
，
∴
，∴
. 由，
∴
解析：由已知条件，可得，当时，，符合题意；当时，由
，消去
或
.
，得，解得或(舍去). 综上可得，公比
5.(2009浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则
．
考查目的：考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用. 答案：15.
解析：∵
6.已知等比数列
，，∴.
，
，
的首项为，是其前项和，某同学经计算得
，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是 ，该数列的
公比是 .
考查目的：考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.
答案：
，.
正确，则由
，得
，所以公比
不正确，.
，可计算得
，
，正确，
，但该同学算只算错了一个数，所以
可得
三、解答题 7.(2010重庆文)已知⑴求通项
及
；
是首项为
，公差为
的等差数列，
为
的前项和.
，
，所以公比
解析：假设
⑵设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和. 考查目的：考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.
答案：⑴解析：⑴因为
，是首项为
，
⑵由题意
，所以
，；⑵，公差为
，
的等差数列，所以
.
. .
8.(2012陕西理)设差数列.
⑴求数列
的公比；
是公比不为1的等比数列，其前项和为
，且
成等
⑵证明：对任意，成等差数列.
考查目的：考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识，考查推理论证能力.
答案：⑴；⑵ 略.
解析：⑴设数列
，即
去)，所以数列
⑵以对任意
证，
的公比为法
. 一
：
对
任
意
成等差数列.
，，所
的公比为
. 由
(
). 由，得
成等差数列，得，解得
(
舍
证法二：对任意，，
，∴
，因此，对任意一、选择题
，成等差数列.
第二章《数列》测试题（一）
1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识. 答案：B.
解析：∵∴
2.(2011江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么( ).
A.1 B.9 C.10 D.55
考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、答案：A
与
的关系.
. ，∴
，∵
的各项都是正数，∴
，∴
，
解析：令，得
，因此，
，∵，∴
. ，且
是
，∴是首项为，公
差为的等差数列，
3.(2011天津理)已知
为等差数列，其公差为与的等比中项，为
的前项和，，则的值为( ).
A.-110 B.-90 C.90 D.110
考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用. 答案：D
解析：设等差数列
，将.
4.(2012湖北理)定义在，
仍是等比数列，则称上的如下函数：①
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
的公差为
，根据题意得
，即，所以
代入，并解得
为“保等比数列函数”. 现有定义在；②
；③
；④
.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算. 答案：C.
解析：对于①，列函数”； 对于②，不是“保
等
比
数
列
函
数
，所以”
；
是“保等比数，所以
对于③
，
，所以
数列函数”；对于④，
不是“保等比数列函数”.
，所以
是“保等比
5.已知数列满足，当时，，则( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力. 答案：A.
解析：由条件可得该数列为：列，所以
.
，所以
是周期为的周期数
6.(2012上海理)设，，在中，正数的个数是( ).
A.25 B.50 C.75 D.100
考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.
答案：D. 解析：当相应的值；当时相应的值；当
二、填空题
7.(2009北京理)已知数列
时，时，
；当；当时，
时，时，. ∴当
，但其绝对值要小于，但其绝对值要小于时，均有
.
时
满足：，，，，则
______；_________.
考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识. 答案：1，0.
解析：依题意，得，.
8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.
答案：
.
，公差为
，前
项和为
. 根据题意知，
，∴
解析：记题中的等差数列为
，.
9.(2010天津文)设
，两式联立解得
是等比数列，公比，为的前项和.记
，，设为数列的最大项，则 .
考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力. 答案：4.
解析：根据等比数列前项和公式，得
，当且仅当
最大值，即数列
的最大项为
，即，所以
时取等号，而. ，其中
，∴当
.∵时，取
10.(2011江苏卷)设成公比为的等比数列，
成公差为1的等差数列，则的最小值是________.
考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.
答案：
.
解析：由题意可得
. ∵
∴
11.(2012四川理)记
为不超过实数的最大整数，例如，
，
，
，即的最小值是
.
，∴当
取最小值时，
，∴
，
.
设为正整数，数列数列
满足，，现有下列命题：①当
都存在正整数，当
时总有
时，；
的前3项依次为5，3，2；②对数列
③当时，；④对某个正整数，若，则. 其中的真命题有
____________.(写出所有真命题的编号)
考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.
答案：①③④
解析：易证，对于取整函数2：对
，有
；性质3：若
有下列性质：性质1：当
，
，则
时，. ①当
；性质时，
，，故①为真；②当时，易知该数列为：
(1与2交替出现)，所以②为假；③∵，∴
；由题易知，对一切
，均为正整数，所以无论
是奇数还是偶数，均有
，故③为真；④若对某个正整数，则由
∵
是
正
整
数
，
∴
.
又
，得∵
，∴，，
，∴
及
，直接可得三、解答题 12.(2009浙江文)设⑴求
及
；
为数列
的前项和，
)，故
，因此④为真.
第二章《数列》测试题（二）
(或由③为真，
，，其中是常数．
⑵若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.
答案：⑴解
析
：.
⑵∵
，
，
，⑴
当
；⑵时
，
或.而
.
；
当
时
，
也适合上式，所以
成等比数列，∴
. ∵此式对
，即成立，∴
或
.
，
化简并整理得
13.(2010全国卷Ⅱ文)已知
.
⑴求
的通项公式；
是各项均为正数的等比数列，且，
⑵设，求数列的前项和.
考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.
答案：⑴
.⑵
的公比为
. ，则
.由已知，有
解析：⑴设
，
化简得⑵
由
⑴
，解得知
，(舍去)，所以.
，
所
以
14.(2008
湖
南
理
)
数
⑴求
，
，并求数列
的通项公式；
列
.
满足
⑵设，，证明：当时，.
考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.
答案：⑴，，
，.
，∴
；⑵略.
，
解析：⑴∵
一般地，当
，所以数列
当
时，
时，
是首项为1、公差为1的等差数列，因此
，所以数列
.
.
，即
是首项为2、
公比为2的等比数列，因此
∴数列的通项公式为
，
. ①，
②，
⑵由⑴知，
得，
.
，∴
要证明当证明：要证明
时，成立，只需证明当，只需证明
.令，∴当
时，成立. ，则
时，
.
.
∴当
时，.于是当时，
15.(2012广东理)设数列，⑴求
成等差数列． 的值；
的通项公式；
的前项和为，满足，且，
⑵求数列
⑶证明：对一切正整数，有．
考查目的：考查数列和不等式的概念及其性质、数列与函数的关系等基础知识，考查数列递推公式的运用、不等式放缩等基本方法，考查综合运用知识分析问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.
答案：⑴
；⑵
；⑶略.
解析：⑴在解得
⑵由足
，∴. ⑶(法一)∵
，
，
中，令.又∵
得
，∴解得得
；令
.
得，
.又∵，∴
也满，∴
成立，∴
，∴，
∴(法二)∵
，∴
，…，
，∴，累乘得
.
，当， .
时，
，
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