指数运算、指数函数经典例题讲义

1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．

n

2．式子a叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________． n

3．(1)n∈N*时，(a)n＝____.

nn

(2)n为正奇数时，an＝____；n为正偶数时，an＝______.

4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________． 5．有理数指数幂的运算性质： (1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．

mnmn一、选择题

4n1．下列说法中：①16的4次方根是2；②16的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，a对任意a∈Rn

都有意义；④当n为大于1的偶数时，a只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( ) A．①③④ B．②③④ C．②③ D．③④ 4

2．若23．在(－)1、22

12、1－1

、2中，最大的是( ) 21121－

A．(－)1 B．22

2

C．1－1

 D．2 212123

4．化简aa的结果是( )

A．a B．a C．a2 D．a 5．下列各式成立的是( ) A.m2＋n2＝mn6

13133

23b

B．()2＝a2b2

a

34＝2

1311C.－32＝3 D.6．下列结论中，正确的个数是( ) ①当a<0时，a322＝a3；

1

n

②an＝|a|(n>0)；

③函数y＝x2－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.

A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7.1333

6－3＋0.125的值为________． 48

2xy2128．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a14＝________.

129．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x三、解答题

321432·(x－x)＝________.

123－－

10．(1)化简：xy2·xy1·xy·(xy)1(xy≠0)；

120－41

83. (2)计算：22＋＋－1－50·

22－1

11．设－3a8ab4b2aba2332343133b3÷(1－2)×a.

a

2

2x－xy

13．若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求的值．

y＋2xy

nn1.an与(a)n的区别 n(1)an是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的nn奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，an＝a；当n为大于1的偶数时，an＝|a|. nn(2)(a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，(a)nnnn＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(a)n＝a，a≥0，由此看只要(a)n有意义，其值恒等于a，即(a)n＝a. 2．有理指数幂运算的一般思路 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程． 3．有关指数幂的几个结论 (1)a>0时，ab>0； (2)a≠0时，a0＝1； (3)若ar＝as，则r＝s； (4)a±2ab＋b＝(a±b)(a>0，b>0)； (5)( a＋b)(a－b)＝a－b(a>0，b>0)． 指数函数及其性质(一)

121212121212121221．指数函数的概念

一般地，__________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质

a>1 0值域 (0，＋∞) 过定点 过点______，即x＝____时，y＝____ 性 函数值 当x>0时，________； 当x>0时，________； 质 的变化 当x<0时，________ 当x<0时，________ 单调性 是R上的__________ 是R上的__________ 1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )

A．y＝(－4)x B．y＝πx

C．y＝－4x D．y＝ax＋

2(a>0且a≠1) 2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( ) A．a＝1或a＝2 B．a＝1

C．a＝2 D．a>0且a≠1 3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )

4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )

A．－9 B.1

9

C．－1

9

D．9

5．右图是指数函数①y＝ax

；②y＝bx

；③y＝cx

；④y＝dx

的图象，则

a、b、c、d与1的大小关系是( A．a6．函数y＝(1

2

)x－2的图象必过( )

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

7．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．

8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b必满足条件________________．9．函数y＝8－23－

x(x≥0)的值域是________． 三、解答题

10．比较下列各组数中两个值的大小：

(1)0.2－1.5和0.2－

1.7；

12(2) 3314和14； (3)2

－1.5

和30.2.

4

)

能力提升

aa≤b

12．定义运算a⊕b＝，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )

ba>b

13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(x)＝yf(x)． (1)求f(1)的值；

1

(2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．

2

y

1．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到． 指数函数及其性质(二)

1．下列一定是指数函数的是( )

A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1) C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－2)x 2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则( )

A．a<0，b<0 B．a<0，b>0

5

C．01 D．0A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．R D．(－∞，0)

1＋1－

4．若()2a1<()32a，则实数a的取值范围是( )

22

1

A．(1，＋∞) B．(，＋∞)

2

1

C．(－∞，1) D．(－∞，)

2

111

5．设<()b<()a<1，则( )

333aba

A．a6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( ) A．a<2 B．a>2 C．－1)

1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(

A．QP B．QP

C．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)} 2．函数y＝16－4x的值域是( )

A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)

3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( ) A．6 B．1

3

C．3 D.

2

－－

4．若函数f(x)＝3x＋3x与g(x)＝3x－3x的定义域均为R，则( ) A．f(x)与g(x)均为偶函数

B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为( )

－

A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－ex＋2

－－

C．f(x)＝－ex－2 D．f(x)＝ex＋2 6．已知a＝433，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )

355131212A．c7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．

1－

8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2x，则不等式f(x)<－的解集是________________．

29．函数y＝12x22x的单调递增区间是________．

10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性； (2)求函数y＝2

x22x1的单调区间．

6

11．函数f(x)＝4x－2x＋

1＋3的定义域为[－112，2

]．

(1)设t＝2x，求t的取值范围； (2)求函数f(x)的值域．

能力提升

12．函数y＝2x－x2的图象大致是( )

13．已知函数f(x)＝2x－1

2x＋1

. (1)求f[f(0)＋4]的值；

(2)求证：f(x)在R上是增函数；

(3)解不等式：017

.

7

1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：

(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性． (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn. 2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．

指数与指数函数综合练习

1．下列函数中，指数函数的个数是( )

＋

①y＝2·3x；②y＝3x1；③y＝3x；④y＝x3. A．0 B．1 C．2 D．3

2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3

3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( ) A．1 B．0

C．－1 D．无最大值

4．将22化成指数式为________．

1－

5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()0.5，则a，b，c的大小顺序为______________．

26．已知x＋x

12121

＝3，求x＋的值．

x

8

一、选择题 1．2212的值为( )

22 D．－ 22

A.2 B．－2 C.

3

2．化简a－b3＋a－2b2的结果是( )

A．3b－2a B．2a－3b C．b或2a－3b D．b

1

3．若02

11

A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x

22

11C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x

224．若函数则f(－3)的值为( ) 11A. B. 82C．2 D．8

5．函数f(x)＝aA．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．00 D．04x＋1

6．函数f(x)＝x的图象( )

2

A．关于原点对称

B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

二、填空题 7．计算：0.06412x－b

的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )

1

－(－)0＋160.75＋0.012＝___________________________________.

4

3mn218．已知10m＝4,10n＝9，则10＝________. 9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________． 三、解答题

10．比较下列各组中两个数的大小：

－－

(1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)1.2和(2)1.4； (3) 

9

1－1.333－2

和；(4)π和(3). 221323

a

11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．

2

能力提升

a－

12．已知f(x)＝2(ax－ax)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．

a－1

13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？

10