2022年广州市初中学业水平考试
数 学
本试卷共7页， 25小题，满分120分。考试时间100分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签宇笔填写自己的考生号、姓名；并将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能写在试卷上。
3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上；涉及作图的题目，用2B铅笔画图。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、圆珠笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题 （共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ * ） （A）圆锥 （C）棱锥
（B）圆柱 （D）棱柱
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ * ）
（A） （B） （C） （D）
3．代数式1√𝑥+1有意义时，x应满足的条件为（ * ）
（B）x＞﹣1
（C）x＜﹣1
（D）x≤﹣1
（A）x≠﹣1
4．点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为 （A）15
（B）15
（C）−5
3
（D）−3
5
5．（3分）（2022•广州）下列运算正确的是（ * ） （A）√−8=2
3
（B）
𝑎+1𝑎
−𝑎=a（a≠0）
1
数学试卷 第1页（共15页）
（C）．√5+√5=√10
（D）a2•a3＝a5
6．如图2，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，
下列结论正确的是（ * ） （A）a＜0 （B）c＞0
（C）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 （D）当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ * ）
（A）a＝b
（B）a＞b
（C）|a|＜|b|
（D）|a|＞|b|
8．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入 口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ * ） （A）2
1
（B）4
1
（C）4
3
（D）12
5
9．如图4，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1， ∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点， 则MN的长为（ * ） （A）2 （C）2−√3
√6
（B）2 （D）
√6−√2
2
√3
10．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形
需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个 图形需要2022根小木棒，则n的值为（ * ）
A．252
B．253
C．336
D．337
数学试卷 第2页（共15页）
第一部分 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）
11．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别
为S甲2＝1.45，S乙2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 * ．（填“甲”、“乙” 中的一个）．
12．分解因式：3a2﹣21ab＝ * ．
13．如图6，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于
点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 * ． 14．分式方程2𝑥=𝑥+1的解是 * ．
15．如图7，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆
心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC ̂的长是 * ．于点E，则劣弧𝐷𝐸（结果保留π） 16．如图8，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的
一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段 BP′，连接PP′，CP′．当点P′落在边BC上时，∠ PP′C的度数为 * ；当线段CP′的长度最小时， ∠PP′C的度数为 * ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分4分）
解不等式：3x﹣2＜4． 18．（本小题满分4分）
如图9，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE， 求证：△ABD≌△ACE．
3
2
数学试卷 第3页（共15页）
19．（本小题满分6分）
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min 30≤t＜60 60≤t＜90 90≤t＜120 120≤t＜150 150≤t＜180 合计
频数 4 7 a 9 6 n
频率 0.1 0.175 0.35 0.225 b 1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ * ，b＝ * ，n＝ * ； （2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低
于120min的学生人数．
20．（本小题满分6分）
某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值， 单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
21．（本小题满分8分）
已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2． （1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
数学试卷 第4页（共15页）
22．（本小题满分10分）
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6． ̂于点D， （1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧𝐴𝐶
连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD
的值．
23．（本小题满分10分）
某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量 旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1）求BC的长；
（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．
条件①：CE＝1.0m；
条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
24．（本小题满分12分）
已知直线l：y＝kx + b经过点（0，7）和点（1，6）． （1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的
点Q′也在G上时，求G在
4𝑚5
≤x≤
4𝑚5
+1的图象的最高点的坐标．
数学试卷 第5页（共15页）
25．（本小题满分12分）
如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD． （1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=√3DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的
值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
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2022年广州市初中学业水平考试
数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．） 1．（A） 6．（C）
2．（C） 7．（C）
3．（B） 8．（A）
4．（D） 9．（D）
5．（D） 10．（B）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。） 11．乙 14．x＝3
12．3a（a﹣7b） 15．2π
13．21
16．120°；75°
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（4分）
解：移项得：3x＜4+2， 合并同类项得：3x＜6， 系数化为1得：x＜2． 18．（4分）
证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC， 在△ABD和△ACE中，
𝐴𝐵=𝐴𝐶
{∠𝐵=∠𝐶， 𝐵𝐷=𝐶𝐸
∴△ABD≌△ACE（SAS）． 19．（6分）
解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40， ∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15， 故答案为：14；0.15；40； （2）补全频数分布直方图如下：
数学试卷 第7页（共15页）
（3）480×
9+640
=180（人），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180人．
20．（6分）
解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=𝑑，把点（20，500）代入解析式得500=20，
∴V＝10000． （2）由（1）得S=
10000𝑑
𝑉
𝑉
，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625， 21．（8分）
解：（1）T ＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2 ＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根， ∴ Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0， ∴ a2+ab＝1， ∴ T＝6×1＝6． 22．（10分）
解：（1）分别以A、C为圆心，大于2AC为半径画弧，在AC的两侧分别相交于P、Q两̂于点D，交AC于点E，即作线段AC的垂直平分线，由垂径定理点，画直线PQ交劣弧𝐴𝐶可知，直线PQ一定过点O；
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1
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，且AC＝8，BC＝6． ∴AB=√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=10， ∵OD⊥AC， ∴AE＝CE=2AC＝4， 又∵OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=2BC＝3，
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC， 即点O到AC的距离为3， 连接OC，在Rt△CDE中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4， ∴CD=√𝐷𝐸2+𝐸𝐶2=√22+42=2√5 ∴sin∠ACD=
𝐷𝐸𝐶𝐷1
1
=
22√5=
√5． 5
23．（10分）
解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m， ∴BC＝5×1.6＝8（m）， ∴BC的长为8m； （2）若选择条件①： 由题意得：
𝐴𝐵𝐵𝐶
=𝐶𝐸，
𝐴𝐵
1.61
𝐷𝐶
∴8=
，
数学试卷 第9页（共15页）
∴AB＝12.8，
∴旗杆AB的高度为12.8m； 若选择条件②：
过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m， 在Rt△ADF中，∠ADF＝54.46°， ∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m）， ∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m）， ∴旗杆AB的高度约为12.8m．
24．（12分）
解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b， 𝑏=7∴{， 𝑘+𝑏=6解得{
𝑘=−1
，
𝑏=7
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上， ∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m， ∵抛物线经过点（0，﹣3）， ∴am2+7﹣m＝﹣3， ∴a=
𝑚−10𝑚2
，
∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
数学试卷 第10页（共15页）
∴a=
𝑚−10𝑚2
＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m， ∴Q点与Q'关于x＝m对称， ∴Q点的横坐标为m+，
21
𝑦=−𝑥+7
联立方程组{，
𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+7−𝑚整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0， ∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点， ∴m+m+2=2m−𝑎， ∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m， ∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3， 解得m＝2或m=−2，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5， 此时抛物线的对称轴为直线x＝2， 图象在5≤x≤
58
135
5
1
1
上的最高点坐标为（2，5）；
5
19
当m=−2时，y＝﹣2（x+2）2+2， 此时抛物线的对称轴为直线x=−2，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）； 综上所述：G在25．（12分）
解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：
4𝑚5
5
≤x≤
4𝑚5
+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
∵四边形ABCD是菱形，
数学试卷 第11页（共15页）
∴AD＝AB＝6， ∴∠BAD＝120°， ∴∠DAH＝60°， 在Rt△ADH中， DH＝AD•sin∠DAH＝6×
√321
=3√3，
AH＝AD•cos∠DAH＝6×2=3，
∴BD=√𝐷𝐻2+𝐵𝐻2=√(3√3)2+(6+3)2=6√3；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×2=3， ∵BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠DBA=2∠ABC＝30°， 在Rt△BEM中， ME＝BM•tan∠DBM＝3×BE=𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝐵𝑀=
𝐵𝑀
3√32
1
1
√33
=√3，
=2√3，
∵BE=√3DF， ∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4， 在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
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∴FN＝AF•sin∠FAN＝4×
1
√32
=2√3，
AN＝AF•cos∠FAN＝4×2=2， ∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5， ∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN =2EM•BM+2（EM+FN）•MN−2AN•FN =×√3×3+×（√3+2√3）×5−×2×2√3
23
2
2
1
1
1
1
1
1
=2√3+＝7√3；
152
√3−2√3
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+√3CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE=√3DF=√3x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
∴EY∥FG∥AB，FN∥CH， ∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH， 由①可知：ME=BE=
21
√3x， 2
BM=
3√3BE=x， 221
1
1
AN=2AF=2（AD﹣DF）＝3−2x， FN=CH=
6√3−√3𝑥√3AF=， 22
1√3BC＝33，BH=BC＝3， √22
数学试卷 第13页（共15页）
∴AM＝AB﹣BM＝6−x，
2
3
AH＝AB﹣BH＝3， YH＝ME=GH＝FN=
√3x， 26√3−√3𝑥2
，
3
EY＝MH＝BM﹣BH=2x﹣3， ∴CY＝CH﹣YH＝3√3−
𝑥2√3x， 2
6√3−√3𝑥2
FG＝NH＝AN+AH＝6−，CG＝CH﹣GH＝3√3−∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3−2x−2x＝9﹣2x， ∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN =2EM•BM+2（EM+FN）•MN−2AN•FN =2×==
11
1
11
3
=
√3x， 2
31√36√3−√3𝑥116√3−√3𝑥√3x×x+（x+）（•9﹣2x）−（3−x）• 22222222
√323√3x−2x+9√3 4
27√3√3（x﹣3）2+， 44√3∵4＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值， 方法一：CE+√3CF=√𝐶𝑌2+𝐸𝑌2+√3•√𝐹𝐺2+𝐶𝐺2 =√(3√3−
√32𝑥)2
3
+(2𝑥−3)2+√3×√(6−2𝑥)2+(2𝑥)2
9
1
3
31√3=√27−9𝑥+4𝑥2+4𝑥2−9𝑥+9+√3×√36−6𝑥+4𝑥2+4𝑥2 =√3𝑥2−18𝑥+36+√3×√36−6𝑥+𝑥2 =√3(𝑥−3)2+9+√3(𝑥−3)2+81，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0， ∴CE+√3CF=√3(𝑥−3)2+9+√3(𝑥−3)2+81≥12，
当且仅当x＝3时，CE+√3CF＝12，即当x＝3时，CE+√3CF的最小值为12， ∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+√3CF的值也最小，最小值为12．
数学试卷 第14页（共15页）
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG， 在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，
∵𝐷𝐹=𝐷𝐶=
𝐵𝐸
𝐵𝐺
√3，∠CDF＝∠GBE＝60°， 1
∴△BEG∽△DFC， ∴𝐶𝐹==𝐷𝐶=
𝐺𝐸
𝐵𝐺
√3，即1
GE=√3CF，
∴CE+√3CF＝CE+GE≥CG＝12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+√3CF的值最小， 此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3√3，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+√3CF的值也最小，最小值为12．
数学试卷 第15页（共15页）
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