同济大学线性代数第六版答案(全)

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

201 (1)141

183201 解 141

183 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644

abc (2)bca

cababc 解 bca

cab acbbaccbabbbaaaccc 3abca3b3c3

111 (3)abc

a2b2c2111 解 abc

a2b2c2 bc2ca2ab2ac2ba2cb2 (ab)(bc)(ca)

xyxy (4)yxyx

xyxyxyxy 解 yxyx

xyxy x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y33x2 yx3y3x3 2(x3y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3    (2n1) 2 4    (2n) 解 逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)      

n(n1) 2 (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3    (2n1) (2n) (2n2)    2 解 逆序数为n(n1)  3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)      

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6    (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)      

(2n)2 (2n)4 (2n)6    (2n)(2n2) (n1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为

(1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是

(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4 计算下列各行列式

41 (1)1001251202142 0741 解 100125120214c2c34210c7c103074123020211041102122(1)43 141031404110c2c39910 1220020

10314c112c317171423 (2)151120423611 2242361c4c2213212523 解 151120112042360r4r222310221121423402 00r4r123 1011204230020 00abacae (3)bdcdde

bfcfefbceabacae 解 bdcddeadfbce

bcebfcfef111 adfbce1114abcdef

111a1 (4)001b1001c100 1da1 解 001b1001c10r1ar201ab01b101d00a1c100 1d1aba0c3dc21abaad (1)(1)211c11c1cd

01d010

5 证明:

abadabcdabcdad1 (1)(1)32111cda2abb2 (1)2aab2b(ab)3;

111 证明

a2abb2c2c1a2aba2b2a2 2aab2b2aba2b2a

00111c3c11222ababaaba(ab)3  (ba)(ba)1 (1)2ba2b2a31axbyaybzazbxxyz (2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;

azbxaxbyaybzzxy 证明

axbyaybzazbx aybzazbxaxby

azbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbx ayazbxaxbybzazbxaxby

zaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbx a2yazbxxb2zxaxby

zaxbyyxyaybzxyzyzx a3yzxb3zxy

zxyxyzxyzxyz a3yzxb3yzx

zxyzxyxyz (a3b3)yzx

zxy

a2b2 (3)2cd2 证明

(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)20; (c3)2(d3)2(a3)2(b3)2(cc cc cc得) (c3)2433221(d3)2a2b2 2cd2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2a22b c2d22a12b12c12d12a32b32c32d32a52b5(cc cc得) 2c543322d5a22b c2d2

2a12b12c12d12222220 221a (4)a2a41bb2b41cc2c41d d2d4 (ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd); 证明

1a a2a41bb2b41cc2c41d d2d411110bacada 0b(ba)c(ca)d(da)

0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111cd (ba)(ca)(da)b

222b(ba)c(ca)d(da)111cbdb (ba)(ca)(da)0

0c(cb)(cba)d(db)(dba)1 (ba)(ca)(da)(cb)(db)c(c1ba)d(dba) =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

x0 (5)  0an

1x  0an101  0an2          0000  xna1xn1    an1xan  x1a2xa1 证明 用数学归纳法证明

x1x2axa 命题成立 当n2时 D2a122xa1 假设对于(n1)阶行列式命题成立 即 Dn1xn1a1 xn2    an2xan1 则Dn按第一列展开 有

1 DnxDn1an(1)n1  x  101    1             00    x00    1 xD n1anxna1xn1    an1xan  因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式Ddet(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转 依次得

an1  anna1n  annann  a1n D1       D2        D3      

a11  a1na11  an1an1  a11证明D1D2(1)n(n1)2D D3D 

        a1nann   a2n 证明 因为Ddet(aij) 所以

a11an1  ann D1      (1)n1an1  a11  a1na21a11a21 (1)n1(1)n2an1  a31 (1) 同理可证

          a1na2nann      a3nn(n1)212  (n2)(n1)D(1)D

D2(1) D3(1)

n(n1)2a11  an1n(n1)n(n1)      (1)2DT(1)2D a1n  annn(n1)2D2(1)n(n1)2(1)n(n1)2D(1)n(n1)DD

7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1)Dn都是0 解

a1  1a, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素

a0 Dn0  010a0  0000a  0000a  0                      000  a0000  a100(按第n行展开)   0a1a0(1)2na   0  a(n1)(n1)0(n1)(n1)0an1 (1)0  0000  0an1n(1)(1)

  a(n2)(n2)ananan2an2(a21)

x (2)Dn a aax  a        aa;   x 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得

xaaaxxa0 Dnax0xa      ax00  a  0  0     0xa再将各列都加到第一列上 得

x(n1)aaa0xa0 Dn00xa      000an(a1)nan1(a1)n1 (3)Dn1    aa111  a  0n1  0[x(n1)a](xa)     0xa  (an)n  (an)n1;       an  1  1  an     

n1  (an)  (an)n 解 根据第6题结果 有

11a1n(n1)a Dn1(1)2      an1(a1)n1an(a1)n此行列式为范德蒙德行列式 Dn1(1) (1) (1)n(n1)2n1ij1n(n1)2[(ai1)(aj1)]

n1ij1n(n1)2[(ij)]

n(n1)  12(1)n1ij1(ij)



n1ij1(ij)

    bn;

an (4)D2n    a1b1c1d1cn 解

dnbn(按第1行展开)

an D2n    a1b1c1d1    cndnan1 an    a1b1c1d1    bn10

cn10dn100dn    bn1

0an1 (1)2n1    bncn1cna1b1c1d1dn10 再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bncnD2n2 即D2n(andnbncn)D2n2

于是 D2n(aidibici)D2

i2n而 D2a1b1a1d1b1c1 c1d1ni1所以 D2n(aidibici) (5) Ddet(aij) 其中aij|ij|; 解 aij|ij|

01 Dndet(aij)23  n1123012101210      n2n3n4            n1n2n3 n4  01r1r211 1r2r3      n11c2c111 1c3c1      n11111  n211  11  11  11        n3n4  111 1  0            000 0  n1000200220222      2n32n42n5 (1)n1(n1)2n2

1a1111a2 (6)Dn    11

解

  1  1, 其中a1a2    an0

      1an1a11 Dn11a2    11  1  1       1ana1c1c2a2 0c2c3  0    00a2a3  0000a3  00  0  0  0      an1  0010101     an11an1an11 a1a2  an0  00100 a1a2  an  0011  00010  0001  00001  0                      000  10000  00a1110a210a3

    11an1111an000  1a111a21a3  1an1ni1

000  001ai1 (a1a2an)(11)

i1ai

8 用克莱姆法则解下列方程组

nx1x2x3x45x2x2x34x42 (1)1

2x13x2x35x423xx2x11x01234 解 因为

1 D1231231111214142 51152 D12123111114142 D125252211114284 501211302111111 D312323512415426 D4110221113213152214202所以 xD11D1 xD22D2 xD33D3 xD44D1

 (2)5x16x21x1x5x25x6x30236x40x 35x46x5x5x1045

解 因为

56000 D105016005060010506665 15161 D05001001650060501507 D100601001051620050005000116005161145 5 51 D300051 D5000所以

65100651001000106510006510065105010703 D406050100212 01651000651010001000395 65x11507 x21145 x3703 x4395 x4212

665665665665665x1x2x30 9 问 取何值时 齐次线性方程组x1x2x30有非

x12x2x30零解？

解 系数行列式为

11 D11

121 令D0 得 0或1

于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解

(1)x12x24x30 10 问取何值时 齐次线性方程组2x1(3)x2x30x1x2(1)x30有非零解？

解 系数行列式为

124134 D231211

111101 (1)3(3)4(1)2(1)(3) (1)32(1)23 令D0 得

0 2或3

于是 当0 2或3时 该齐次线性方程组有非零解

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x12y12y2y3x23y1y25y3 x33y12y23y3求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知

x1221y1 x2315y2

x323y231y1221x1749y1故 y2315x2637y2

y323x324y332y17x14x29x3 y26x13x27x3

y33x12x24x3 2 已知两个线性变换

x12y1y3 x22y13y22y3

x34y1y25y3 解 由已知

y13z1z2y22z1z3 y3z23z3求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换

x1201y120131 x2232y223220x415y4150123613z1 1249z2

10116z3x16z1z23z3所以有x212z14z29z3

x310z1z216z30z11z2 z33111123 3 设A111 B124 求3AB2A及ATB

111051111123111 解 3AB2A31111242111

11105111105811121322 3056211121720

2901114292111123058 ATB111124056

111051290 4 计算下列乘积

4317 (1)1232

5701431747321135 解 123217(2)2316

5701577201493 (2)(123)2

13 解 (123)2(132231)(10)

12 (3)1(12)

32(1)2222 解 1(12)1(1)12133(1)32342 6102140 (4)113414313012  1212678

205612102140 解 1134143130a11a12a13x1 (5)(x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3 解

a11a12a13x1 (x1x2x3)a12a22a23x2

aaa132333x3x1 (a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)x2

a11x12a22x22a33x322a12x1x22a13x1x32a23x2x3

5 设A1231 B1012 问

(1)ABBA吗? 解 ABBA

因为AB3464 BA1238 所以ABBA

(2)(AB)2A22ABB2吗? 解 (AB)2A22ABB2

因为AB2252 (AB)2222525221481429

但 A22ABB23841168128130410151627 所以(AB)2A22ABB2 (3)(AB)(AB)A2B2吗? 解 (AB)(AB)A2B2

因为AB2225 AB0021 x32 (AB)(AB)2200520016 938102而 A2B2411341故(AB)(AB)A2B2

8

7 6 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A20 则A0

0 解 取A01 则A20 但A0 0 (2)若A2A 则A0或AE

1 解 取A0 解 取

1 则A2A 但A0且AE 0 (3)若AXAY 且A0 则XY 

10 X11 Y11 A001101则AXAY 且A0 但XY 

10 求A2 A3    Ak 7 设A1101010 解 A21121101010 A3A2A21131      

10 Akk110 8 设A01 求Ak 

00 解 首先观察

1010221 A20101022

00000023323 A3A2A0332

00344362 A4A3A0443

004554103 A5A4A0554

005      

kkk1k(k1)k22k Ak0kk100k 用数学归纳法证明 当k2时 显然成立 假设k时成立，则k1时，

  kkk1k(k1)k2102kk101 Ak1AkA0k0000kk1(k1)k1(k1)kk12 0k1(k1)k1

k100由数学归纳法原理知

kkk1k(k1)k22 Ak0kkk1

00k 9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

证明 因为ATA 所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而BTAB是对称矩阵

10 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明 充分性 因为ATA BTB 且ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即AB是对称矩阵

必要性 因为ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB(AB)TBTATBA 11 求下列矩阵的逆矩阵

1 (1)22 52 |A|1 故A1存在 因为

51 解 A2A11A2152 A*AA21

122252 故 A11A*21|A|cossin (2)sincoscossin |A|10 故A1存在 因为 解 AsincosA11A21cossin A*AAsincos

1222cossin 所以 A11A*sincos|A|121 (3)342

541121 解 A342 |A|20 故A1存在 因为

541A11A21A31420 A*A12A22A321361

32142AAA13233321013111所以 AA*3

|A|221671a1a02 (4)(a1a2  an 0) 

0ana10a2 解 A 由对角矩阵的性质知 0an1a101a2 A110an 12 解下列矩阵方程

2 (1)15X46

213125463546223 解 X1321122108211113 (2)X210432

111211113210 解 X43211111011131 432232

333022182 5

331 (3)14X221031

1011 解 X14312011210

11243110 1110112121101

024010100143 (4)100X001201

0010101206 13126101010143100 解 X100201001

00112001011010143100210 100201001134

001120010102 13 利用逆矩阵解下列线性方程组

x2x23x311 (1)2x12x25x32

3x15x2x33 解 方程组可表示为

123x11 225x22

351x33x112311故 x222520

x3513031x11从而有 x20

x30xxx2123 (2)2x1x23x31

3x12x25x30 解 方程组可表示为

111x12 213x21

325x03x111125故 x221310

x325033x51故有 x20

x33 14 设AkO (k为正整数) 证明(EA)1EAA2  Ak1 证明 因为AkO  所以EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2  Ak1) 所以 (EA)(EAA2  Ak1)E 由定理2推论知(EA)可逆 且 (EA)1EAA2  Ak1

证明 一方面 有E(EA)1(EA) 另一方面 由AkO 有

E(EA)(AA2)A2  Ak1(Ak1Ak) (EAA2  A k1)(EA)

1故 (EA)1(EA)(EAA2  Ak1)(EA) 两端同时右乘(EA)1 就有

(EA)1(EA)EAA2  Ak1

15 设方阵A满足A2A2EO 证明A及A2E都可逆 并求A1及(A2E)1

证明 由A2A2EO得 A2A2E 即A(AE)2E 或 A1(AE)E

2由定理2推论知A可逆 且A11(AE)

2 由A2A2EO得

A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或 (A2E)1(3EA)E

4由定理2推论知(A2E)可逆 且(A2E)11(3EA)

4

证明 由A2A2EO得A2A2E 两端同时取行列式得 |A2A|2 即 |A||AE|2 故 |A|0

所以A可逆 而A2EA2 |A2E||A2||A|20 故A2E也可逆 由 A2A2EO A(AE)2E

A1A(AE)2A1EA11(AE)

2又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E  (A2E)(A3E)4 E

所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A2 E)1 (A2E)11(3EA)

4 16 设A为3阶矩阵 |A|1 求|(2A)15A*|

2 解 因为A11A* 所以

|A| |(2A)15A*||1A15|A|A1||1A15A1|

222 |2A1|(2)3|A1|8|A|18216 17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A1)*

证明 由A11A* 得A*|A|A1 所以当A可逆时 有

|A| |A*||A|n|A1||A|n10 从而A*也可逆

因为A*|A|A1 所以 (A*)1|A|1A

11(A)*|A|(A)* 所以 又A11|A| (A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0

(2)|A*||A|n1 证明

(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得 AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 

所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于A11A* 则AA*|A|E 取行列式得到

|A| |A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n1

若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*||A|n1

033 19 设A110 ABA2B 求B

123 解 由ABA2E可得(A2E)BA 故

233033033 B(A2E)1A110110123

121123110101 20 设A020 且ABEA2B 求B

101 解 由ABEA2B得 (AE)BA2E 即 (AE)B(AE)(AE)

1001 因为|AE|01010 所以(AE)可逆 从而

100201 BAE030

102 21 设Adiag(1 2 1) A*BA2BA8E 求B 解 由A*BA2BA8E得 (A*2E)BA8E B8(A*2E)1A1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E2A)1 8(2E2A)1 4(EA)1

4[diag(2 1 2)]1

4diag(1, 1, 1)

22 2diag(1 2 1)

10 22 已知矩阵A的伴随阵A*10且ABA1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E得 ABB3A

0103001000 08 B3(AE)1A3[A(EA1)]1A

3(E1A*)16(2EA*)1

210 610010300100600060600361006000 0114 10 求A11 23 设P1AP 其中P1102 解 由P1AP 得APP1 所以A11 A=P11P1.

1 |P|3 P*14 P1114

11131而 110010 

0211211142731273214101133故 A021111683684 11331111 24 设APP 其中P102 1

1115求(A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62)

diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)] diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1

1P()P* |P|111100222 2102000303111000121111 4111

111

25 设矩阵A、B及AB都可逆 证明A1B1也可逆 并求其逆阵 证明 因为

A1(AB)B1B1A1A1B1

而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积 所以A1(AB)B1可逆 即A1B1可逆

(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A

10 26 计算002100102001101003031121 0230031 解 设A102 A21 B31 B23

2031212031A1EEB1A1A1B1B2则 OAOBOAB

22221而 A1B1B202312352 21032412 A2B2012343 303091A1EEB1A1A1B1B20所以 OBOAB0OA22220252124 04300910即 0021001020011010030311121002300003252124 0430091 27 取ABCD00 验证AB |A||B| 1CD|C||D| 解 而 故 28 解 则 故 0CA1DB01100000010111220000101011002100210014 0 ||CA||||DB||11110 CADB ||CA||||DB||

A3443O2 求|A8|及A4

 O202令A34143 A22022 AA1OOA2

8A8A1OA18OA2OOA28 |A8||A18||A28||A1|8|A2|81016 A44A1O540504OOA42240 O2624 设 29 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求

OA (1)BO1OAC1C2 则 解 设BOCC34OAC1C2AC3AC4EnO BOCCBCBCOE341s21AC3EnC3A1CO由此得 AC4O4

C1OBC1OCB1BCE2s21OAOB 1所以 BOAO1AO (2)CB1AOD1D2 则 解 设CBDD34AD2EnOAOD1D2AD1 CBDDCDBDCDBDOE

341324s1D1A1AD1EnDOADO由此得 22

D3B1CA1CD1BD3ODB1CDBDE24s4AOA1O 所以 111CBBCAB 30 求下列矩阵的逆阵

152 (1)002100008500 322 B85115 解 设A23 则 25 A1252于是 0021000085212 B1851251323

25810120010AA12500

00233BB10058211 (2)210212003100 040 B31211 解 设A1

0 C2141 则 211 2102120031010AOA1O

110CBBCAB14001110221 1126315182412

000 14

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

1 把下列矩阵化为行最简形矩阵

1021 (1)2031

30431021 解 2031(下一步 r2(2)r1 r3(3)r1 )

30431021 ~0013(下一步 r2(1) r3(2) )

00201021 ~0013(下一步 r3r2 )

00101021 ~0013(下一步 r33 )

00031021 ~0013(下一步 r23r3 )

00011021 ~0010(下一步 r1(2)r2 r1r3 )

00011000 ~0010

00010231 (2)0343

04710231 解 0343(下一步 r22(3)r1 r3(2)r1 )

04710231 ~0013(下一步 r3r2 r13r2 )

001302010 ~0013(下一步 r12 )

00000105 ~0013

00001134333541 (3)

223203342113 解 2310 ~0010 ~0010 ~0013233534442231(下一步 r3r r2r r3r )

213141

0113430488(下一步 r(4) r(3)  r(5) )

234

036605101010001000311142220212000032(下一步 r3r rr rr )

123242

2232 002312 (4)3223137024 8307432312 解 3223137024(下一步 r2r r3r r2r )

123242

8307430111112024 ~(下一步 r22r1 r38r1 r47r1 )

08891207781101 ~0010 ~001000010012001102(下一步 rr r(1) rr )

12243

14140211(下一步 rr )

23

1400210010 ~0001002100001023 40010101123 2 设100A010456 求A

001001789010 解 100是初等矩阵E(1 2) 其逆矩阵就是其本身

001101 010是初等矩阵E(1 2(1)) 其逆矩阵是

001101 E(1 2(1)) 010

001010123101 A100456010

001789001456101452 123010122

789001782 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵

321 (1)315

323321100321100 解 315010~014110

3230010021013203/201/23007/229/2112 ~010112~010002100011/201/211007/62/33/22 ~010110011/201/2723632故逆矩阵为112

1120232010221 (2)

12320121

 解 30220211100100001232001

01210000112320010 ~012100010495103

02210100012320010 ~012100010000211101013

042123200 ~012100010100000111210 1361041 ~120001101000`20210000101211 13610600001124 ~1010000011101 0010361061211故逆矩阵为0111210341 210616 4 (1)设A412221 B133112321 解 因为

X使AXB 求

41213r100102 (A, B)221 22~ 010 153

31131001124102所以 XA1B153

124021123 求X使XAB (2)设A213 B231334 解 考虑ATXTBT 因为

02312r10024 (AT, BT)21323~ 01017

134310011424所以 XT(AT)1BT17

14211 从而 XBA1474110 5 设A011 AX 2XA 求X

101 解 原方程化为(A2E)X A 因为

110110 (A2E, A)011011

101101100011 ~010101

001110011所以 X(A2E)1A101

110 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式?

解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r1阶子式 也可能存在等于0的r阶子式

1000 例如 A0100 R(A)3

001000000 是等于0的2阶子式 100是等于0的3阶子式 00010 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样?

解 R(A)R(B)

这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩

8 求作一个秩是4的方阵 它的两个行向量是

(1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)

解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵

11100010000010000010000 00此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量

9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式

3102 (1)1121;

13443102 解 1121(下一步 r1r2 )

13441121 ~3102(下一步 r23r1 r3r1 )

13441121 ~0465(下一步 r3r2 )

04651121 ~0465 0000矩阵的秩为2 314是一个最高阶非零子式

1132131 (2)21313

7051832132 解 21313(下一步 r1r2 r22r1 r37r1 )

7051813441071195 ~021332715(下一步 r33r2 )

13441 ~071195 0000032矩阵的秩是2 7是一个最高阶非零子式

21

218230 (3)3251033775 80203775(下一步 r2r r2r r3r )

142434

8020218230 解 32510301210363 ~0242103200 ~0100 ~01100010002003200375(下一步 r3r r2r )

2131

0017016(下一步 r16r r16r )

2432

01420100271 0007 1010 ~00010032002100075矩阵的秩为3 580700是一个最高阶非零子式

320 10 设A、B都是mn矩阵 证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)

证明 根据定理3 必要性是成立的

充分性 设R(A)R(B) 则A与B的标准形是相同的与B的标准形为D 则有

A~D D~B

由等价关系的传递性 有A~B

11 设A123k12k3k23 问k为何值 可使

 (1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3

解 A123kr11kk1 k12k233~ 00k01(k1)(k2) (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3

12 求解下列齐次线性方程组:

x1x22x3x (1)40 2x1x2xx3x40

2x122x32x40 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

A 设01121101 A2111~0131

22120014/3x4x134x3x4于是 2

4x3x4x34x4故方程组的解为

4x13x3 2k4(k为任意常数)

x3x431x12x2x3x40 (2)3x16x2x33x40

5x110x2x35x40 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

12111201 A3613~0010

510150000x12x2x4xx于是 22

x30xx44故方程组的解为

x121x102 k1k2(k1 k2为任意常数)

00x301x42x13x2x35x403xx2x37x40 (3)12

4x1x23x36x40x2x4x7x01234 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

2331 A411215127~03600470100001000 01

x10x20于是 

x30x04故方程组的解为

x10x0 2

x0x3043x14x25x37x402x3x23x32x40 (4)1

4x111x213x316x407x2xx3x01234 解 对系数矩阵A进行初等行变换 有

345233 A41113721172~0163000317119170000131720 1700

x3x13x11731741920于是 x2x3x4

1717xxx3x344故方程组的解为

31317x117x19202 k1k2(k1 k2为任意常数)

17x3170x4101

13 求解下列非齐次线性方程组:

4x12x2x32 (1)3x11x22x310

11x13x28 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有

42121338 B31210~0101134

113080006于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解

2x3yz4x2y4z5 (2)

3x8y2z134xy9z6 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有

231124 B382419x2z1于是 yz2

zz415~0130060100210012 00x21即 yk12(k为任意常数)

z102xyzw1 (3)4x2y2zw2

2xyzw1 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有

2111111/21/201/2010 B42212~002111100000x1y1z1222于是 yy

zzw0111x222y即 k11k200(k1 k2为任意常数)

z100w0002xyzw1 (4)3x2yz3w4

x4y3z5w2 解 对增广矩阵B进行初等行变换 有

21111101/71/76/7 B32134~015/79/75/7

1435200000x1z1w6777于是 y5z9w5

777zzww11677x795y5即 k1k2(k1 k2为任意常数)

z77w7001010 14 写出一个以

2234xc1c2

1001为通解的齐次线性方程组 解 根据已知 可得

x122x34 2c1c2

10x301x4与此等价地可以写成

x12c1c2x23c14c2 

x3c1xc42x12x3x4或 x3x4x

234x12x3x40或 x3x4x0

234这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组

15 取何值时 非齐次线性方程组

x1x2x31x1x2x3

2x1x2x3 (1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解?

111 解 B11

112211 ~ 01 1(1)00(1)(2)(1)(1)2r (1)要使方程组有唯一解 必须R(A)3 因此当1且2时方程组有唯一解.

(2)要使方程组无解 必须R(A)R(B) 故 (1)(2)0 (1)(1)20 因此2时 方程组无解

(3)要使方程组有有无穷多个解 必须R(A)R(B)3 故 (1)(2)0 (1)(1)20 因此当1时 方程组有无穷多个解.

16 非齐次线性方程组

2x1x2x32x12x2x3

2x1x22x3当取何值时有解？并求出它的解

12121122 解 B121~011(1)

11223000(1)(2)要使方程组有解 必须(1)(2)0 即1 2 当1时

21121011 B1211~0110

11210000方程组解为

x1x31xx1 x1x3或x2x3

23x3x3x111即 x2k10(k为任意常数)

x103 当2时

21121012 B1212~0112

11240000方程组解为

x1x32x1x32 或x2x32 xx223x3x3x112即 x2k12(k为任意常数)

x103

(2)x12x22x31 17 设2x1(5)x24x32

2x14x2(5)x31问为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解

22122 解 B25424514225 11 ~0100(1)(10)(1)(4) 要使方程组有唯一解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0

所以当1且10时 方程组有唯一解. 要使方程组无解 必须R(A)R(B) 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0 所以当10时 方程组无解.

要使方程组有无穷多解 必须R(A)R(B)3 即必须 (1)(10)0且(1)(4)0

所以当1时 方程组有无穷多解此时，增广矩阵为

1221 B~0000

0000方程组的解为

x1x2x31 x2 x2

x3 x3x1221或 x2k11k200(k1 k2为任意常数) x0103 18 证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT 使AabT

证明 必要性 由R(A)1知A的标准形为

10 00000100(1, 0, , 0) 00即存在可逆矩阵P和Q 使

11010 PAQ(1, 0, , 0) 或AP(1, 0, , 0)Q1 001T10 令aP b(1 0  0)Q1 则a是非零列向量 bT是非0零行向量 且AabT

充分性 因为a与bT是都是非零向量 所以A是非零矩阵 从而R(A)1 因为

1R(A)R(abT)min{R(a) R(bT)}min{1 1}1

所以R(A)1

19 设A为mn矩阵 证明

(1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m 证明 由定理7 方程AXEm有解的充分必要条件是

R(A)R(A Em)

而| Em|是矩阵(A Em)的最高阶非零子式 故R(A)R(A Em)m 因此 方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m (2)方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)n

证明 注意 方程YAEn有解的充分必要条件是ATYTEn有解 由(1) ATYTEn有解的充分必要条件是R(AT)n 因此，方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)R(AT)n

20 设A为mn矩阵 证明 若AXAY 且R(A)n 则XY 证明 由AXAY 得A(XY)O 因为R(A)n 由定理9 方程A(XY)O只有零解 即XYO 也就是XY

第四章 向量组的线性相关性

1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T 求v1v2及3v12v2v3

解 v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T

(10 11 01)T

(1 0 1)T

3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T (31203 31214 30210)T (0 1 2)T

2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a 其中a1(2 5 1 3)T a2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T 解 由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得

a1(3a12a25a3)

6 1[3(2, 5, 1, 3)T2(10, 1, 5, 10)T5(4, 1, 1, 1)T]

6 (1 2 3 4)T 3 已知向量组

A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)T B b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T 证明B组能由A组线性表示 但A组不能由B组线性表示

证明 由

01 (A, B)231r ~ 000 由

301223012041r124~0 111021300312432204 16157281790312416157 04135000000316020041241r157~ 05152501350知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示

2041021124r022r0 B~~11101102130110

4 已知向量组

A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)T

010021 00知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示

B b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T 证明A组与B组等价 证明 由

11301r11301r11301(B, A)02211~02211~02211

111100221100000知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式 故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价

5 已知R(a1 a2 a3)2 R(a2 a3 a4)3 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示

证明 (1)由R(a2 a3 a4)3知a2 a3 a4线性无关 故a2 a3也线性无关 又由R(a1 a2 a3)2知a1 a2 a3线性相关 故a1能由a2 a3线性表示

(2)假如a4能由a1 a2 a3线性表示 则因为a1能由a2 a3线性表示 故a4能由a2 a3线性表示 从而a2 a3 a4线性相关 矛盾 因此a4不能由a1 a2 a3线性表示

6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为

121r121r121 A314~077~011

101022000所以R(A)2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为

210 |B|340220

002所以R(B)3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关

7 问a取什么值时下列向量组线性相关？

a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由

a11 |A|1a1a(a1)(a1)

11a知 当a1、0、1时 R(A)3 此时向量组线性相关 8 设a1 a2线性无关 a1b a2b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式

解 因为a1b a2b线性相关 故存在不全为零的数1 2使

1(a1b)2(a2b)0 由此得 b1a12a21a1(11)a2 121212121设c 则

12 bca1(1c)a2 cR

9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定

例如 当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时 有 a1b1(1 2)Tb1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T 而a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的

10 举例说明下列各命题是错误的

(1)若向量组a1 a2    am是线性相关的 则a1可由a2    am线性表示

解 设a1e1(1 0 0    0) a2a3    am0 则a1 a2    am线性相关 但a1不能由a2    am线性表示 (2)若有不全为0的数1 2    m使

1a1    mam1b1    mbm0

成立 则a1 a2    am线性相关, b1 b2    bm亦线性相关 解 有不全为零的数1 2    m使

1a1    mam 1b1    mbm 0

原式可化为

1(a1b1)    m(ambm)0

取a1e1b1 a2e2b2    amembm 其中e1 e2    em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2    am和b1 b2    bm均线性无关

(3)若只有当1 2    m全为0时 等式

1a1    mam1b1    mbm0

才能成立 则a1 a2    am线性无关, b1 b2    bm亦线性无关 解 由于只有当1 2    m全为0时 等式

由1a1    mam1b1    mbm 0

成立 所以只有当1 2    m全为0时 等式

1(a1b1)2(a2b2)    m(ambm)0

成立 因此a1b1 a2b2    ambm线性无关

取a1a2    am0 取b1    bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2    am线性相关

(4)若a1 a2    am线性相关, b1 b2    bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2    m使

1a1    mam0 1b1    mbm0

同时成立

解 a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)T

1a12a2 0122 1b12b2 01(3/4)2

120 与题设矛盾

11 设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得

a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1 于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1 从而 b1b2b3b40

这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关

12 设b1a1 b2a1a2    br a1a2    ar 且向量组a1 a2     ar线性无关 证明向量组b1 b2     br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成

10(b1, b2,    , br)(a1, a2,    , ar)0向量组b1 b2     br线性无关

11011 1上式记为BAK 因为|K|10 K可逆 所以R(B)R(A)r 从而

13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组

(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T 解 由

19219219221004r0820r010 (a1, a2, a3) ~~110201900004480320000知R(a1 a2 a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组

(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7) 解 由

12(a1, a2, a3)13411411rr13~095~0540950670181004195 0000知R(a1T a2T a3T)R(a1 a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组

14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组

2575 (1)7525

25757525319494321753542043132 13448 解 因为

319494321753542043r23r1253r1132r3~0134r4r1004831171213134325rr34~305r3r20053117120100433 30所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

10 (2)2112012130251411 3112202112255211rr13~201r3r400212002120252011 20 解 因为

1021

12012130251411r2r13~103r4r1001所以第1、2、3列构成一个最大无关组

15 设向量组

(a 3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 3 1)T

的秩为2 求a b

解 设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T 因为

13r111312a2r11(a3, a4, a1, a2)233b~01a11~01a11

111301002ab51b6而R(a1 a2 a3 a4)2 所以a2 b5

16 设a1 a2    an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2   en能由它们线性表示 证明a1 a2    an线性无关 证法一 记A(a1 a2    an) E(e1 e2   en) 由已知条件知 存在矩阵K 使

EAK

两边取行列式 得

|E||A||K|

可见|A|0 所以R(A)n 从而a1 a2    an线性无关

证法二 因为e1 e2   en能由a1 a2    an线性表示 所以

R(e1 e2   en)R(a1 a2    an)

而R(e1 e2   en)n R(a1 a2    an)n 所以R(a1 a2    an)n 从而a1 a2    an线性无关

17 设a1 a2    an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2    an线性无关 而a1 a2    an a是n1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2    an线性表示 且表示式是唯一的

充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2    an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2    en能由a1 a2    an线性表示 于是有

nR(e1 e2    en)R(a1 a2    an)n

即R(a1 a2    an)n 所以a1 a2    an线性无关

18 设向量组a1 a2    am线性相关 且a10 证明存在某个向量ak (2km) 使ak能由a1 a2    ak1线性表示 证明 因为a1 a2    am线性相关 所以存在不全为零的数1 2    m 使

1a12a2    mam0

而且2 3   m不全为零 这是因为 如若不然 则1a10 由a10知10 矛盾 因此存在k(2km) 使

k0 k1k2    m0

于是

1a12a2    kak0

ak(1/k)(1a12a2    k1ak1)

即ak能由a1 a2    ak1线性表示

19 设向量组B b1    br能由向量组A a1    as线性表示为

(b1    br)(a1    as)K 其中K为sr矩阵 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r

证明 令B(b1    br) A(a1    as) 则有BAK 必要性 设向量组B线性无关

由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 有 rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K) 及 R(K)min{r s}r 因此R(K)r

Er 充分性 因为R(K)r 所以存在可逆矩阵C 使KCO为K的标准形 于是

(b1    br)C( a1    as)KC(a1    ar)

因为C可逆 所以R(b1    br)R(a1    ar)r 从而b1    br线性无关

20 设

23    n1 21 3    n                           n123n1证明向量组1 2    n与向量组1 2    n等价 证明 将已知关系写成

01(1, 2,    , n)(1, 2,    , n)11将上式记为BAK 因为

10111101111 001|K|1110111101111(1)n1(n1)0 0所以K可逆 故有ABK 1 由BAK和ABK 1可知向量组1

2    n与向量组1 2    n可相互线性表示 因此向量组1 2    n与向量组1 2    n等价

21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x 且向量组x Ax A2x线性无关

(1)记P(x Ax A2x) 求3阶矩阵B 使APPB 解 因为

APA(x Ax A2x) (Ax A2x A3x) (Ax A2x 3AxA2x)

000 (x, Ax, A2x)103

011000所以B103

011 (2)求|A|

解 由A3x3AxA2x 得A(3xAxA2x)0 因为x Ax A2x线性无关 故3xAxA2x0 即方程Ax0有非零解 所以R(A)3 |A|0

22 求下列齐次线性方程组的基础解系

x18x210x32x40 (1)2x14x25x3x40

3x18x26x32x40 解 对系数矩阵进行初等行变换 有

018102r104 A2451 ~ 013/41/4

38620000于是得

x14x3 x(3/4)x(1/4)x

234 取(x3 x4)T(4 0)T 得(x1 x2)T(16 3)T 取(x3 x4)T(0 4)T 得(x1 x2)T(0 1)T 因此方程组的基础解系为

1(16 3 4 0)T 2(0 1 0 4)T

2x13x22x3x40 (2)3x15x24x32x40

8x17x26x33x40 解 对系数矩阵进行初等行变换 有

2321r102/191/19 A3542 ~ 0114/197/19

87630000于是得

x1(2/19)x3(1/19)x4 x(14/19)x(7/19)x

234 取(x3 x4)T(19 0)T 得(x1 x2)T(2 14)T 取(x3 x4)T(0 19)T 得(x1 x2)T(1 7)T 因此方程组的基础解系为

1(2 14 19 0)T 2(1 7 0 19)T

(3)nx1 (n1)x2    2xn1xn0. 解 原方程组即为

xnnx1(n1)x2    2xn1

取x11 x2x3    xn10 得xnn

取x21 x1x3x4    xn10 得xn(n1)n1    

取xn11 x1x2    xn20 得xn2 因此方程组的基础解系为 1(1 0 0    0 n)T 2(0 1 0    0 n1)T   

n1(0 0 0    1 2)T

2213, 求一个42矩阵B, 使AB0, 且 23 设A9528R(B)2.

解 显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解 因为

r2213 ~ 101/81/8 A9528015/811/8所以与方程组AB0同解方程组为

x1(1/8)x3(1/8)x4 x(5/8)x(11/8)x

234 取(x3 x4)T(8 0)T 得(x1 x2)T(1 5)T 取(x3 x4)T(0 8)T 得(x1 x2)T(1 11)T 方程组AB0的基础解系为

1(1 5 8 0)T 2(1 11 0 8)T

15 因此所求矩阵为B80

111 08 24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

1(0 1 2 3)T  2(3 2 1 0)T 

解 显然原方程组的通解为

x10x13k23x12x2k12k22kk, 即x1221x2kk (k1 k2R) 330x33k1241x4消去k1 k2得

2x13x2x40 x3x2x0134此即所求的齐次线性方程组.

25 设四元齐次线性方程组

xx0 I x1x20  II

24x1x2x30 xxx0234求 (1)方程I与II的基础解系 (2) I与II的公共解

x1x4 解 (1)由方程I得xx

24 取(x3 x4)T(1 0)T 得(x1 x2)T(0 0)T 取(x3 x4)T(0 1)T 得(x1 x2)T(1 1)T 因此方程I的基础解系为

1(0 0 1 0)T 2(1 1 0 1)T

x1x4 由方程II得xxx

234 取(x3 x4)T(1 0)T 得(x1 x2)T(0 1)T 取(x3 x4)T(0 1)T 得(x1 x2)T(1 1)T 因此方程II的基础解系为

1(0 1 1 0)T 2(1 1 0 1)T (2) I与II的公共解就是方程

x1x20xx0 III 24

x1x2x30xxx0234的解 因为方程组III的系数矩阵

10 A101111001101r1 ~0 000101000101 1200所以与方程组III同解的方程组为

x1x4 x2x4

x32x4 取x41 得(x1 x2 x3)T(1 1 2)T 方程组III的基础解系为 (1 1 2 1)T

因此I与II的公共解为xc(1 1 2 1)T cR

26 设n阶矩阵A满足A2A E为n阶单位矩阵, 证明

R(A)R(AE)n

证明 因为A(AE)A2AAA0 所以R(A)R(AE)n 又R(AE)R(EA) 可知

R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n

由此R(A)R(AE)n

27 设A为n阶矩阵(n2) A*为A的伴随阵 证明

n 当R(A)nR(A*)1 当R(A)n1

0 当R(A)n2 证明 当R(A)n时 |A|0 故有 |AA*|||A|E||A|0 |A*|0 所以R(A*)n

当R(A)n1时 |A|0 故有 AA*|A|E0

即A*的列向量都是方程组Ax0的解 因为R(A)n1 所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R(A*)1

当R(A)n2时 A中每个元素的代数余子式都为0 故A*O 从而R(A*)0

28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系

x1x25 (1)2x1x2x32x41

5x13x22x32x43 解 对增广矩阵进行初等行变换 有

11005r10108B21121 ~ 011013 5322300012 与所给方程组同解的方程为

x1x38x2 x313 x4 2 当x30时 得所给方程组的一个解(8 13 0 2)T 与对应的齐次方程组同解的方程为

x1x3x2 x3 x40 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系(1 1 1 0)T

x15x22x33x411 (2)5x13x26x3x41

2x14x22x3x46 解 对增广矩阵进行初等行变换 有

152311r109/71/21 B53611 ~ 011/71/22

2421600000 与所给方程组同解的方程为

x1(9/7)x3(1/2)x41

x(1/7)x(1/2)x2234 当x3x40时 得所给方程组的一个解

(1 2 0 0)T

与对应的齐次方程组同解的方程为

x1(9/7)x3(1/2)x4 x(1/7)x(1/2)x234 分别取(x3 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对应的齐次方程组的基础解系

1(9 1 7 0)T 2(1 1 0 2)T

29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知

1 2 3是它的三个解向量 且

1(2 3 4 5)T 23(1 2 3 4)T

求该方程组的通解

解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于

1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质

得

21(23)(12)(13) (3 4 5 6)T

为其基础解系向量 故此方程组的通解

xk(3 4 5 6)T(2 3 4 5)T (kR)

30 设有向量组A a1( 2 10)T a2(2 1 5)T a3(1 1 4)T 及b(1  1)T 问 为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示

(2)向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 (3)向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式

1121r12 解 (a3, a2, a1, b)112~ 0111

451010043 (1)当4 0时 R(A)R(A b) 此时向量b不能由向量组A线性表示

(2)当4时 R(A)R(A b)3 此时向量组a1 a2 a3线性无关 而向量组a1 a2 a3 b线性相关 故向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一

(3)当4 0时 R(A)R(A b)2 此时向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 当4 0时

1241r1021(a3, a2, a1, b)1120~ 0131

451010000方程组(a3 a2 a1)xb的解为

x1212c1 x2c313c1 cR

x10c3因此 b(2c1)a3(3c1)a2ca1 即 b ca1(3c1)a2(2c1)a3 cR

31 设a(a1 a2 a3)T b(b1 b2 b3)T c(c1 c2 c3)T 证明三直线

l1 a1xb1yc10

l2 a2xb2yc20 (ai2bi20 i1 2 3)

l3 a3xb3yc30

相交于一点的充分必要条件为 向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关

证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

a1xb1yc10a1xb1yc1a2xb2yc20 即a2xb2yc2 a3xb3yc30a3xb3yc3有唯一解 上述方程组可写为xaybc 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a b唯一线性表示 而c能由a b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关

32 设矩阵A(a1 a2 a3 a4) 其中a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量ba1a2a3a4 求方程Axb的通解 解 由ba1a2a3a4知(1 1 1 1)T是方程Axb的一个解

由a12a2 a3得a12a2a30 知(1 2 1 0)T是Ax0的一个解

由a2 a3 a4线性无关知R(A)3 故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量 因此(1 2 1 0)T是方程Ax0的基础解系 方程Axb的通解为

xc(1 2 1 0)T(1 1 1 1)T cR

33 设*是非齐次线性方程组Axb的一个解, 1 2   

nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明

(1)* 1 2    nr线性无关 (2)* *1 *2    *nr线性无关

证明 (1)反证法, 假设* 1 2    nr线性相关 因为1

2    nr线性无关 而* 1 2    nr线性相关 所以*可

由1 2    nr线性表示 且表示式是唯一的 这说明*也是齐次线性方程组的解 矛盾

(2)显然向量组* *1 *2    *nr与向量组*

1 2    nr可以相互表示 故这两个向量组等价 而由(1)知

向量组* 1 2    nr线性无关 所以向量组* *1

*2    *nr也线性无关

34 设1 2    s是非齐次线性方程组Axb的s个解 k1 k2    ks为实数 满足k1k2    ks1. 证明

xk11k22    kss

也是它的解.

证明 因为1 2    s都是方程组Axb的解 所以 Aib (i1 2    s)

从而 A(k11k22    kss)k1A1k2A2    ksAs (k1k2    ks)bb 因此xk11k22    kss也是方程的解

35 设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r 1 2    nr1是它的nr1个线性无关的解 试证它的任一解可表示为

xk11k22    knr1nr1 (其中k1k2    knr11). 证明 因为1 2    nr1均为Axb的解 所以121

231    nr nr11均为Axb的解

用反证法证 1 2    nr线性无关

设它们线性相关 则存在不全为零的数1 2    nr 使得

11 22      nr  nr0

即 1(21) 2(31)      nr(nr11)0 亦即 (12    nr)11223     nrnr10 由1 2    nr1线性无关知

(12    nr)12    nr0

矛盾 因此1 2    nr线性无关 1 2    nr为Axb的一个基础解系

设x为Axb的任意解 则x1为Ax0的解 故x1可由

1 2    nr线性表出 设

x1k21k32    knr1nr

k2(21)k3(31)    knr1(nr11) x1(1k2k3    knr1)k22k33    k nr1nr1 令k11k2k3    knr1 则k1k2k3    knr11 于是 xk11k22    knr1nr1

36 设

V1{x(x1 x2  xn)T | x1  xnR满足x1x2 xn0} V2{x(x1 x2  xn)T | x1  xnR满足x1x2 xn1} 问V1 V2是不是向量空间？为什么？

解 V1是向量空间 因为任取

(a1 a2  an)T V1 (b1 b2  bn)T V1 R 有 a1a2 an0 b1b2 bn0

从而 (a1b1)(a2b2) (anbn) (a1a2 an)(b1b2 bn)0 a1a2 an(a1a2 an)0 所以 (a1b1 a2b2  anbn)TV1 (a1 a2  an)T V1 V2不是向量空间 因为任取

(a1 a2  an)T V1 (b1 b2  bn)T V1 有 a1a2 an1 b1b2 bn1

从而 (a1b1)(a2b2) (anbn)

(a1a2 an)(b1b2 bn)2 所以 (a1b1 a2b2  anbn)TV1

37 试证 由a1(0 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 1 0)T所生成的向量空间就是R3. 证明 设A(a1 a2 a3) 由

011|A|10120

110知R(A)3 故a1 a2 a3线性无关 所以a1 a2 a3是三维空间R3

的一组基, 因此由a1 a2 a3所生成的向量空间就是R3.

38 由a1(1 1 0 0)T a2(1 0 1 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1(2 1 3 3)T b2(0 1 1 1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1V2.

证明 设A(a1 a2) B(b1 b2) 显然R(A)R(B)2 又由

11 (A, B)001011213301r1 ~0 10011100230001 00知R(A B)2 所以R(A)R(B)R(A B) 从而向量组a1 a2与向量组b1 b2等价 因为向量组a1 a2与向量组b1 b2等价 所以这两个向量组所生成的向量空间相同 即V1V2.

39 验证a1(1 1 0)T a2(2 1 3)T a3(3 1 2)T为R3的一个基, 并把v1(5 0 7)T v2(9 8 13)T用这个基线性表示. 解 设A(a1 a2 a3) 由

123|(a1, a2, a3)|11160

032知R(A)3 故a1 a2 a3线性无关 所以a1 a2 a3为R3的一个基. 设x1a1x2a2x3a3v1 则

x12x23x35x1x2x30 3x22x37解之得x12 x23 x31 故线性表示为v12a13a2a3

设x1a1x2a2x3a3v2 则

x12x23x39x1x2x38 3x22x313解之得x13 x23 x32 故线性表示为v23a13a22a3

40 已知R3的两个基为

a1(1 1 1)T a2(1 0 1)T a3(1 0 1)T b1(1 2 1)T b2(2 3 4)T b3(3 4 3)T 求由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵P 解 设e1 e2 e3是三维单位坐标向量组 则

(a(e1111, a2, a3)1, e2, e3)110101

1 (e111, e2, e3)(a1, a2, a3)1011101 于是 (b121, b2, b3)(e1, e2, e3)2331443  (a11111231, a2, a3)100234

111143由基a1 a2 a3到基b1 b2 b3的过渡矩阵为

111123234 P100234010

111143101

1 第五章 相似矩阵及二次型

1 试用施密特法把下列向量组正交化

111 (1)(a1, a2, a3)124

139 解 根据施密特正交化方法

1 b1a11

11[b1,a2]b10 b2a21[b1,b1]1[b1,a3][b2,a3]1b1b22 b3a3[b1,b1][b2,b2]31111011 (2)(a1, a2, a3)

101110 解 根据施密特正交化方法

10 b1a1

1113[b1,a2]1 b2a2b1

[b1,b1]32113[b1,a3][b2,a3]1 b3a3b1b2

[b1,b1][b2,b2]534 2 下列矩阵是不是正交阵:

1112311 (1)1; 2112132 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵

184999814 (2)

999447999 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵

3 设x为n维列向量 xTx1 令HE2xxT 证明H是对称的正交阵 证明 因为

HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T E2(xT)TxTE2xxT 所以H是对称矩阵 因为

HTHHH(E2xxT)(E2xxT) E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT) E4xxT4x(xTx)xT E4xxT4xxT E 所以H是正交矩阵

4 设A与B都是n阶正交阵 证明AB也是正交阵 证明 因为A B是n阶正交阵 故A1AT B1BT

(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE

故AB也是正交阵

5 求下列矩阵的特征值和特征向量:

212 (1)533;

1022123(1)3 解 |AE|53102故A的特征值为1(三重) 对于特征值1 由

312101AE523~011

101000得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1)T 向量p1就是对应于

特征值1的特征值向量.

123 (2)213;

336123 解 |AE|213(1)(9)

336故A的特征值为10 21 39 对于特征值10 由

123123A213~011 336000得方程Ax0的基础解系p1(1 1 1)T 向量p1是对应于特征值10的特征值向量. 对于特征值21, 由

223223AE223~001

337000得方程(AE)x0的基础解系p2(1 1 0)T 向量p2就是对应于特征值21的特征值向量 对于特征值39 由

1118231A9E283~01 3332000得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/2 1/2 1)T 向量p3就是对应于特征值39的特征值向量

00 (3)010010010010. 0001001010(1)2(1)2 0 解 |AE|001故A的特征值为121 341 对于特征值121 由

10AE0101100110110~000010100010010 00得方程(AE)x0的基础解系p1(1 0 0 1)T p2(0 1 1 0)T 向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量 对于特征值341 由

10AE0101100110110~000100100010010 00得方程(AE)x0的基础解系p3(1 0 0 1)T p4(0 1 1 0)T 向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量

6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为

|ATE||(AE)T||AE|T|AE|

所以AT与A的特征多项式相同 从而AT与A的特征值相同 7 设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n 证明A与B有公共

的特征值 有公共的特征向量 证明 设R(A)r R(B)t 则rtn

若a1 a2  anr是齐次方程组Ax0的基础解系 显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量

类似地 设b1 b2  bnt是齐次方程组Bx0的基础解系 则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量 由于(nr)(nt)n(nrt)n 故a1 a2  anr b1 b2  bnt必线性相关 于是有不全为0的数k1 k2  knr l1 l2  lnt 使

k1a1k2a2  knranrl1b1l2b2  lnrbnr0

记 k1a1k2a2  knranr(l1b1l2b2  lnrbnr) 则k1 k2  knr不全为0 否则l1 l2  lnt不全为0 而

l1b1l2b2  lnrbnr0

与b1 b2  bnt线性无关相矛盾

因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量 所以A与B有公共的特征值 有公共的特征向量

8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则

(A23A2E)x2x3x2x(232)x0

因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或2

9 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的特征值 证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1

因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1是A的特征值

10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值

证明 设x是AB的对应于0的特征向量 则有 (AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx)

从而是BA的特征值 且Bx是BA的对应于的特征向量 11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故

|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318 12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故 A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E

令()61322 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值 故

|A*3A2E||6A13A2E||(A)|

(1)(2)(3)15(5)25 13 设A、B都是n阶矩阵 且A可逆 证明AB与BA相 似

证明 取PA 则

P1ABPA1ABABA

即AB与BA相似

201 14 设矩阵A31x可相似对角化 求x

405 解 由

201|AE|31x(1)2(6)

405得A的特征值为16 231

因为A可相似对角化 所以对于231 齐次线性方程组(AE)x0有两个线性无关的解 因此R(AE)1 由

101r101(AE)30x~00x3

404000知当x3时R(AE)1 即x3为所求

212 15 已知p(1 1 1)是矩阵A5a3的一个特征向

1b2T

量

(1)求参数a b及特征向量p所对应的特征值 解 设是特征向量p所对应的特征值 则

21021310 (AE)p0 即5a1b210解之得1 a3 b0

(2)问A能不能相似对角化？并说明理由 解 由

212|AE|533(1)3

102得A的特征值为1231 由

112r101AE523~011

1b1000知R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量 因此A不能相似对角化

16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

220 (1)212;

020 解 将所给矩阵记为A 由

220AE212(1)(4)(2)

02得矩阵A的特征值为12 21 34 对于12 解方程(A2E)x0 即

420x1232x0 022x23得特征向量(1 2 2)T  单位化得p1(1, 2, 2)T

333 对于21, 解方程(AE)x0 即

120x1202x0 021x23得特征向量(2 1 2)T  单位化得p2(23, 13, 23)T

对于34, 解方程(A4E)x0 即

222302x1024x0 x23得特征向量(2 2 1)T  单位化得p3(23, 23, 13)T

于是有正交阵P(p1 p2 p3) 使P1APdiag(2 1 4)

(2)222225454

 解 将所给矩阵记为A 由

AE222524524(1)2(10)

得矩阵A的特征值为121 310 对于121 解方程(AE)x0 即

122x10224444x20 x30得线性无关特征向量(2 1 0)T和(2 0 1)T  将它们正交化、化得

p1115(2, 1, 0)T p235(2, 4, 5)T

单位 对于310, 解方程(A10E)x0 即

822x10254x0 245x203得特征向量(1 2 2)T  单位化得p31(1, 2, 2)T

3 于是有正交阵P(p1 p2 p3) 使P1APdiag(1 1 10)

5124 17 设矩阵A2x2与4相似 求x y 并

421y求一个正交阵P 使P1AP

解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5 4 y是的特征值 故它们也是A的特征值 因为4是A的特征值 所以

524|A4E|2x429(x4)0

425解之得x4

已知相似矩阵的行列式相同 因为

5124|A|242100 ||420y

421y所以20y100 y5

对于5 解方程(A5E)x0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (1 2 0)T 将它们正交化、单位化得

p11(1, 0, 1)T p21(1, 4, 1)T

232 对于4 解方程(A4E)x0 得特征向量(2 1 2)T 单位化得p31(2, 1, 2)T

312 于是有正交矩阵P0122133214 使P1AP 33221332 18 设3阶方阵A的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p1(0 1 1)T p2(1 1 1)T p3(1 1 0)T 求A. 解 令P(p1 p2 p3) 则P1APdiag(2 2 1) APP1 因为

011110P111111

1100110112001101331所以 APP111020111453

11000101144211 19 设3阶对称阵A的特征值为11 21 30 对应1、

2的特征向量依次为p1(1 2 2)T p2(2 1 2)T 求A x1x2x3 解 设Ax2x4x5 则Ap12p1 Ap22p2 即

xxx356x12x22x31x22x42x52 ① x32x52x622x1x22x322x2x42x51 ② 2x3x52x62再由特征值的性质 有

x1x4x61230 ③

由①②③解得

x111x6 x21x6 x321x6 32234 x411x6 x521x6

3432令x60 得x11 x20 x32 x41 x52

33331021因此 A012

3220 20 设3阶对称矩阵A的特征值16 23 33 与特征值

16对应的特征向量为p1(1 1 1)T 求A.

x1x2x3 解 设Ax2x4x5

xxx356 因为16对应的特征向量为p1(1 1 1)T 所以有

x1x2x3611A161 即x2x4x56 ① 11x3x5x66 233是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A3E)1 利用①可推出

x311x13x21A3Ex2x43x5~x2x43x5

xxx3xxx3565633因为R(A3E)1 所以x2x43x5且x3x5x63 解之得

x2x3x51 x1x4x64

411因此 A141

114 21 设a(a1 a2 



 an)T  a10 AaaT

(1)证明0是A的n1重特征值

证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则有 Axx

2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax 于是可得2aTa 从而0或aTa

设1 2    n是A的所有特征值 因为AaaT的主对角线性上的元素为a12 a22    an2 所以

a12a22    an2aTa12    n

这说明在1 2    n中有且只有一个等于aTa 而其余n1个全为0 即0是A的n1重特征值

(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量 解 设1aTa 2    n0

因为AaaaTa(aTa)a1a 所以p1a是对应于1aTa的特征向量

对于2    n0 解方程Ax0 即aaTx0 因为a0 所以aTx0 即a1x1a2x2    anxn0 其线性无关解为

p2(a2 a1 0 p3(a3 0 a1 

  

pn(an 0 0 





 0)T  0)T  a1)T

因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为

a1a(p1, p2, ,pn)2ana2a10an0 a1142 22 设A034 求A100

043 解 由

142 |AE|034(1)(5)(5)

043得A的特征值为11 25 35

对于11 解方程(AE)x0 得特征向量p1(1 0 0)T 对于15 解方程(A5E)x0 得特征向量p2(2 1 2)T 对于15 解方程(A5E)x0 得特征向量p3(1 2 1)T 令P(p1 p2 p3) 则

P1APdiag(1 5 5) APP1 A100P100P1 因为

100diag(1 5100 5100)

1215051 P1012012 0215021所以

150512111012 A1000125100502110002151051001 051000

005100 23 在某国 每年有比例为p的农村居民移居城镇 有比例为q的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口迁移的规律也不变 把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xnyn1)

xn1xn (1)求关系式yAy中的矩阵A

n1n 解 由题意知

xn1xnqynpxn(1p)xnqyn yn1ynpxnqyn pxn(1q)yn 可用矩阵表示为

xn11pqxn yp1qy

nn11pq因此 Ap1q

x00.5 (2)设目前农村人口与城镇人口相等 即y0.5 求

0xn ynxn1xnxnAnx0 由 解 由可知Ayyyyn1nn0|AE|1pq(1)(1pq)

p1q得A的特征值为11 2r 其中r1pq

对于11 解方程(AE)x0 得特征向量p1(q p)T 对于1r 解方程(ArE)x0 得特征向量p2(1 1)T

q1 令P(p1, p2)p1 则

 P1APdiag(1 r) APP1 AnPnP1

q110q1于是 Anp10rp1

q11011 1p10rnpq

pqqprnqqrn1  pqpprnpqrnxnqprnqqrn0.51 pprnpqrn0.5 ynpqn12q(pq)rn1 2p(qp)rn

2(pq)32 求(A)A105A9 24 (1)设A23 解 由

|AE|32(1)(5)

23得A的特征值为11 25

对于11 解方程(AE)x0 得单位特征向量1(1, 1)T

2 对于15 解方程(A5E)x0 得单位特征向量1(1, 1)T

211 使得P1APdiag(1 5) 于是有正交矩阵P1112从而APP1 AkPkP1 因此 (A)P()P1P(1059)P1 P[diag(1 510)5diag(1 59)]P1 Pdiag(4 0)P1

114 111020111

021122211 2211212 (2)设A122, 求(A)A106A95A8

221 解 求得正交矩阵为

131P1362022 2使得P1APdiag(1 1 5) APP1 于是 (A)P()P1P(106958)P1

P[8(E)(5E)]P1

Pdiag(1 1 58)diag(2 0 4)diag(6 4 0)P1 Pdiag(12 0 0)P1

13 11362021211220330 22220112 2112

224 25 用矩阵记号表示下列二次型: (1) fx24xy4y22xzz24yz

121x 解 f(x, y, z)242y

121z (2) fx2y27z22xy4xz4yz

112x 解 f(x, y, z)112y

227z (3) fx12x22x32x422x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4

11 解 f(x1, x2, x3, x4)212 (1)f(x)xT31x 1113223101x12x2 0x31x4 26 写出下列二次型的矩阵

2 解 二次型的矩阵为A31 1123 (2)f(x)xT456x

789123 解 二次型的矩阵为A456

789 27 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f2x123x223x334x2x3

200 解 二次型的矩阵为A032 由

023200AE032(2)(5)(1)

023得A的特征值为12 25 31 当12时, 解方程(A2E)x0 由

000012A2E012~001

021000得特征向量(1 0 0)T 取p1(1 0 0)T 当25时 解方程(A5E)x0 由

300100A5E022~011

02200011得特征向量(0 1 1)T 取p2(0, , )T 22 当31时 解方程(AE)x0 由

100100AE022~011

022000得特征向量(0 1 1)T 取p3(0, 1, 1)T

22 于是有正交矩阵T(p1 p2 p3)和正交变换xTy 使

f2y125y22y32

(2) fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4

11 解 二次型矩阵为A011110011110 由 111101AE1110(1)(3)(1)2

01111011得A的特征值为11 23 341

当11时 可得单位特征向量p1(1, 1, 1, 1)T

2222 当23时 可得单位特征向量p2(1, 1, 1, 1)T

2222 当341时 可得线性无关的单位特征向量

p3(1, 0, 1, 0)T p4(0, 1, 0, 1)T

2222 于是有正交矩阵T( p1 p2 p3 p4)和正交变换xTy 使

fy123y22y32y42

28 求一个正交变换把二次曲面的方程

3x25y25z24xy4xz10yz1

化成标准方程

322 解 二次型的矩阵为A255

255322 由|AE|255(2)(11) 得A的特征值

255为12 211 30 

对于12 解方程(A2E)x0 得特征向量(4 1 1)T 单位化得p1(4, 1, 1)

323232 对于211 解方程(A11E)x0 得特征向量(1 2 2)T 单位化得p2(1, 2, 2)

333 对于30 解方程Ax0 得特征向量(0 1 1)T 单位化得

p3(0, 1, 1)

22 于是有正交矩阵P(p1 p2 p3) 使P1APdiag(2 11 0) 从而有正交变换

104332x121uyv z3232w1213232使原二次方程变为标准方程2u211v21

29 明 二次型fxTAx在||x||1时的最大值为矩阵A的最大

特征值.

证明 A为实对称矩阵 则有一正交矩阵T 使得

TAT1diag(1 2    n)

成立 其中1 2    n为A的特征值 不妨设1最大 作正交变换yTx 即xTTy 注意到T1TT 有 fxTAxyTTATTyyTy1y122y22    nyn2 因为yTx正交变换 所以当||x||1时 有

||y||||x||1 即y12y22    yn21

因此

f 1y122y22    nyn21

又当y11 y2y3  yn0时f 1 所以f max 1

30 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵

(1) f(x1 x2 x3)x123x225x322x1x24x1x3 解 f(x1 x2 x3)x123x225x322x1x24x1x3 (x1x22x3)24x2x32x22x32 (x1x22x3)22x22(2x2x3)2

xy5y2y11232y1x1x22x31yy2x令 2 即 x2222y2xx323x32y2y3二次型化为规范形

fy12y22y32

所用的变换矩阵为

15221C00

2021

(2) f(x1 x2 x3)x122x322x1x32x2x3 解 f(x1 x2 x3)x122x322x1x32x2x3 (x1x3)2x322x2x3 (x1x3)2x22(x2x3)2

y1x1x3x1y1y2y3令 y2x2 即x2y2

y3x2x3x3y2y3二次型化为规范形

fy12y22y32

所用的变换矩阵为

111C010 011 (3) f(x1 x2 x3)2x12x224x322x1x22x2x3 解 f(x1 x2 x3)2x12x224x322x1x22x2x3

22 2(x11x2)21x24x32x2x3

222 2(x11x2)21(x22x3)22x3

221y12(x11x2)x12y112y212y3令 y1222(x22x3) 即x22y2212y3 y32x3x32y3二次型化为规范形

fy12y22y32

所用的变换矩阵为

C11112002021  31 设

fx12x225x322ax1x22x1x34x2x3

为正定二次型 求a

解 二次型的矩阵为A1a1a12 其主子式为

125 a1a1111 1aa11a2 a11225a(5a4) 因为f为正主二次型 所以必有1a20且a(5a4)0得45a0

32 判别下列二次型的正定性 (1) f2x126x224x322x1x22x1x3

解之211 解 二次型的矩阵为A160 因为

104a1120 21110 |A|380 16所以f为负定

(2) fx123x229x3219x422x1x24x1x32x1x46x2x412x3x4

11 解 二次型的矩阵为A211303209613 因为 6191121140, 13060, A240 a1110

13209所以f为正定

33 证明对称阵A为正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵U 使AU TU 即A与单位阵E合同

证明 因为对称阵A为正定的 所以存在正交矩阵P使

PTAPdiag(1 2    n) 即APPT

其中1 2    n均为正数

令1diag(1, 2,    ,n) 则11 AP11TPT 再令U1TPT 则U可逆 且AUTU

第六章 线性空间与线性变换

1 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间 并写出各个空间的一个基 (1) 2阶矩阵的全体S1

解 设A B分别为二阶矩阵 则A BS1 因为

(AB)S1 kAS1

所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间

110是S1的一个基.

0 00201 00310 00400 1 (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2

ab Bde A BS 因为 解 设Acafd2

(ad)cb ABcaadS2

kakbS kAkcka2所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间

10 01 00 101200310是S2的一个基

(3) 2阶对称矩阵的全体S3.

解 设A BS3 则ATA BTB 因为 (AB)TATBTAB (AB)S3 (kA)TkATkA kAS3

所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.

10 01 00 100210301是S3的一个基.

2 验证 与向量(0 0 1)T不平行的全体3维数组向量 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间

解 设V{与向量(0 0 1)T不平行的全体三维向量} 设r1(1 1 0)T r2(1 0 1)T 则r1 r2V 但r1r2(0 0 1)TV 即V不是线性空间.

3 设U是线性空间V的一个子空间 试证 若U与V的维数相等 则UV

证明 设1 2  n为U的一组基 它可扩充为整个空间V的一个基 由于dim(U)dim(V) 从而1 2  n也为V的一个基 则 对于xV可以表示为xk11k22  krr 显然 xU 故VU 而由已知知UV 有UV

4 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间 a1 a2  ar是Vr的一个基 试证 Vn中存在元素ar1  an 使a1 a2  ar, ar1  an成为Vn的一个基

证明 设rn, 则在Vn中必存在一向量ar1Vr 它不能被a1 a2  ar线性表示 将ar1添加进来 则a1 a2  ar1是线性无关的 若r1n 则命题得证 否则存在ar2L(a1 a2  ar1) 则a1 a2  ar2线性无关 依此类推 可找到n个线性无关的向量a1 a2  an 它们是Vn的一个基

5 在R3中求向量(3 7 1)T在基1(1 3 5)T 2(6 3 2)T

3(3 1 0)T下的坐标

解 设1 2 3是R3的自然基 则 (1 2 3)(1 2 3)A (1 2 3)(1 2 3)A1

163263其中A331 A15158

52092815331因为 (1, 2, 3)7(1, 2, 3)A7

112633 (1, 2, 3)51587

92815133 (1, 2, 3)82

154所以向量在基1 2 3下的坐标为(33 82 154)T

6 在R3取两个基

1(1 2 1)T 2(2 3 3)T 3(3 7 1)T 1(3 1 4)T 2(5 2 1)T 3(1 1 6)T 试求坐标变换公式

解 设1 2 3是R3的自然基 则 (1 2 1)(1 2 3)B (1 2 3)(1 2 1)B1

(1 2 1)(1 2 3)A(1 2 1)B1A

121351其中 A237 B121

131416 设任意向量在基1 2 3下的坐标为(x1 x2 x3)T 则

x1x1(1, 2, 3)x2(1, 2, 3)B1Ax2

xx33故在基1 2 3下的坐标为

13191814x1x1x163B1Ax2913x2 x2xx2x333997104

7 在R4中取两个基

e1(1000)T e2(0100)T e3(0010)T e4(0001)T 1(2111)T 2(0310)T 3(5321)T 3(6613)T (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵 解 由题意知

21(1, 2, 3, 4)(e1, e2, e3, e4)11从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为

0310532166 1321A110310532166 13 (2)求向量(x1 x2 x3 x4)T在后一个基下的坐标 解 因为

x1x1xx(e1, e2, e3, e4)2(1, 2, 3, 4)A12

x3x3x4x4向量在后一个基下的坐标为

y12y0y2536y4 解 令

1336112110131x112x11x293277x4912032790933x123x2 18x326x4 (3)求在两个基下有相同坐标的向量.

12112797912032790933x1x123x2x2 18x3x326x4x4x11x1解方程组得2k(k为常数)

x13x41

xx 8 说明xOy平面上变换TyAy的几何意义 其中

1 (1)A0 解 因为

0 1x1Ty00xx 1yy所以在此变换下T()与关于y轴对称

0 (2)A00 1 解 因为

x0Ty00 (3)A11 00x0

1yy所以在此变换下T()是在y轴上的投影

解 因为

x0Ty10 (4)A1 解 因为

1xy yx0所以在此变换下T()与关于直线yx对称

1.

0x0Ty11xy yx0所以在此变换下T()是将顺时针旋转

2

9 n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个

n(n1)维线性空间. 给出n阶矩阵P 以A表示V中的任一元素 2变换T(A)PTAP称为合同变换. 试证合同变换T是V中的线性变换

证明 设A BV 则ATA BTB

T(AB)PT(AB)PPT(AB)TP [(AB)P]TP(APBP)TP

(PTAPTB)PPTAPPTBPT(A)T(B) T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A) 从而 合同变换T是V中的线性变换

10 函数集合

V3{(a2x2a1xa0)ex | a2 a1 a0 R}

对于函数的线性运算构成3维线性空间 在V3中取一个基

1x2ex 2xex 3ex

求微分运算D在这个基下的矩阵. 解 设

1D(1)2xexx2ex221 2D(2)exxex32 3D(3)ex3

易知1 2 3线性无关 故为一个基.

100由 (1, 2, 3)(1, 2, 3)210

011100知即D在基1 2 3下的矩阵为P210

011

11 2阶对称矩阵的全体

x1x2V3{Axx|x1,x2,x3R}

23对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V3中取一个基

1A100 A02101T(A)11 A03001, 10.

1在V3中定义合同变换

0A101求T在基A1 A2 A3下的矩阵. 解 因为

1 T(A1)11 T(A2)11 T(A3)1010100110001010011100101111AAA

111231101110011A2A

3220A

13100故 (T(A1), T(A2), T(A3))(A1, A2, A3)110

121100从而 T在基A1 A2 A3下的矩阵A110.

121谢谢使用，请挂机。