2011年希望杯全国数学邀请赛初三竞赛二试模拟卷(二)

第６期　２０１１年希望杯全国数学邀请赛初三竞赛二试模拟卷（二）　・３９・　ＤＧ上ＯＢ于点Ｇ，连结ＢＤ，ＯＤ，则　因此　．ｓ：ＡＢ　＝　１　ＢＤ　：７＋　．　ＢＤ　：ＢＧ２＋ＤＧ２：　ｆＢＯ—ｏｃ）　＋ＯＤ　一ＯＧ　＝　因为一１≤　≤１，所以Ｓ的最大值为７＋　，Ｓ的　（一　一　）　＋１一　＝　最小值为７一￣／ｊ　１４＋２　，　（供稿人：施储）　２０１１年希望杯全国数学邀请赛初三竞赛二试模拟卷（二）　一、选择题（共８小题，每小题５分，满分４０分）　１．直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是　２．由多项式乘法ｍ（ａ＋６＋Ｃ）＝，眦＋ｍｂ＋　，可得：（ａ＋ｂ）（ａ　一ａｂ＋ｂ　）＝ａ　＋ｂ。，我们把上述等式叫做　Ａ．（　＋４ｙ）（　一４　＋１６ｙ２）－－Ｘ。＋６４ｙ３　Ｂ．（２ｘ＋，，）（４ｘ　一２　＋，，２）＝８ｘ。＋ｙ３　Ｃ．（ａ＋１）（ａ　＋ａ＋１）＝ａ。＋１　Ｄ．　。＋２７＝（　＋３）（　２—３ｘ＋９）　３．若函数），＝｛　－２’　，则当函数值），＝８时，自变量　的值是　（　）　４篓　别称从图案自己的这件概率３　是　文具中随机取出１件，则可以拼成一（个　轴对Ｉ）——一　ｌ＼　＼一　／一　。　／／，－、、、　Ａ．４９　Ｂ．５９　ｃ．　３　Ｄ．１图ｌ　３　Ａ．Ｙ　一　一ｂｘ—ｃ　Ｂ．Ｙ　一ｔＬＴ，　＋ｂｘ—ｃ　Ｃ．Ｙ　一ｂｘ＋ｃ　Ｄ．Ｙ　ｎ　一ｂｘ—ｃ　７．如图２，点Ｐ是Ｏ０的弦ＡＢ上的一点，连结ＯＰ，过点Ｐ作ＰＣｊ－ＯＰ，ＰＣ交Ｏ０于点ｃ，　若ＢＰ：４，ＣＰ＝８，则ＡＰ的长为　（　）　Ａ　１Ｏ　Ｂ．１２　１４　Ｄ．１６　８．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按照一定规则加入相关数据组成　传输信息．设定原信息为ａｏａ　ａ：，ａ　∈｛０，１｝（ｉ＝０，１，２），传输信息为ｈｏａ。ａ　ａ　ｈ　，其中　ｈ０＝ａｏ　０ａ　，ｈ　＝ｈｏ　０口２，０运算规则为：Ｏ（９０＝０，００１＝１，１　００＝１，１　０１＝０，例如原　图２　信息为１　１　１，则传输信息为Ｏ１　１　１　１．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息　出错，则下列接收信息一定有误的是　（　）　・４０・　Ｂ．０ｌ１００　中学教研（数学）　Ｃ．１０１ｌｌ　Ｄ．０ｏ０１Ｉ　２０１１生　Ａ．１１０１０　二、填空题（共８小题，每小题５分，满分４０分）　９．如图３所示的图形是某些多面体的平面展开图，请写出它们的名称：　①——；②　；③一——；④　△（））　‘　图３　ｌ０．若Ｏ≤　≤１，且　＋），　＝３，ｘｙ＝ｌ，贝ｑ　—Ｙ＝　１１．在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，边ＡＣ上的中线ＢＤ把ＡＡＢＣ的周长分成ｌ２和ｌ８两部分，则ＡＡＢＣ各边的长为　．．．．．．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　．．．＿．　１２．有Ａ，　，ｃ三粒骰子，骰子Ａ的６个面上分别刻有ｌ，２，３，４，５，６；骰子　的６个面上分别刻有ｌ，３，５，７，　９，１１；骰子ｃ的６个面上分别刻有２，４，６，８，ｌＯ，１２．现将它们抛掷后，面朝上的３粒骰子上的点数和为　１２的概率是——．　１３．已知　，　，…，　中的每一个数的值只能取数０，１，一２中的一个，且满足　ｌ＋　：＋…＋　＝一７，　＋　＋…＋　：＝２３，则　＋戈；＋…＋　：＝一　ｌ４．如图４，ｏＤ与ＲｔＡＡＯＢ的斜边交于点Ｃ，Ｄ，Ｃ，Ｄ恰是ＡＢ的２个　三等分点．若ｏ０半径的长等于５，则ＡＢ：一　ｌ５．如图５，在３×３的方阵图中，填写了一些数字、字母和代数式，使得　每行、每列和斜对角（对角线）的３个数之和均相等，则　＋，，＝　；　——Ｂｂ　＋　ｃ　盟　图５　一　图４　ｌ６．如图６，ｎ＋１个边长为２的等边三角形有一条边在同一　直线上，设ＡＢ２Ｄ。Ｃｌ的面积为Ｓ　，ＡＢ。Ｄ　Ｃ：的面积为　Ｓ２，…，ＡＢ　＋１Ｄ　Ｃ　的面积为Ｓ　，则Ｓ２＝————；Ｓ　＝　（用含ｎ的式子表示）．　图６　三、解答题（共２小题，每小题２０分，满分４０分）　１７．在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＣＤ∥ＡＢ，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于　点０，／ＡＣＤ＝６０。，点Ｐ，Ｑ，Ｓ分别为ＯＡ，ＢＣ，ＯＤ的中　点．　（１）求证：ＡＰＱＳ是等边三角形；　（２）若ＡＢ＝５，ＣＤ＝３，求ＡＰＱＳ的面积；　（３）若△ＪＰ　的面积与ＡＡＯＤ的面积比是７：８，求梯形上、下底的比ＣＯ：Ａ且　ｌ８．已知抛物线Ｙ＝　＋　＋ｃ（口≠０）的对称轴为　＝１，与　轴交于点Ａ，Ｂ，与Ｙ轴交于点Ｃ，其中Ｂ（３，　０），Ｃ（Ｏ，２）．　（１）求这条抛物线的解析式．　（２）已知在对称轴上存在一点Ｐ，使得ＡＰＡＣ的周长最小（可不必证明），请求出点Ｐ的坐标．　（３）若点Ｄ是线段ＯＣ上的一个动点（不与点０、点ｃ重合），过点Ｄ作ＤＥ∥ＰＣ交　轴于点Ｅ，连结　ＰＤ，ＰＥ．设ＣＤ的长为ｔ，ＡＰＤＥ的面积为．ｓ，求Ｓ与ｔ之间的函数关系式，试说明ｓ是否存在最大　值．若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．　第６期　２０１１年希望杯全国数学邀请赛初三竞赛二试模拟卷（二）　・４１・　参考１．Ａ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ａ　６．Ｂ　７．Ｄ　８．Ｃ　９．①长方体；②三棱柱；③三棱锥；④圆锥　１０．一ｌ　ｌ１．８，８，ｌ４或１２，１２，６　ｌ２．１ｌ８　１３．一３７　ｌ４．３　１５．１，　６．　，　１７．（１）证明　如图７，　连结船，ＳＣ，容易证明　ＡＤＡ　△铝Ａ，则　Ｂ＝／Ｄ　．　又由　ＡＣＤ＝６０。，可知　Ｂ　△ＣＯＤ，ＡＡＯＢ都是等边三　角形．由Ｐ　上ＯＡ，得　图７　ＰＱ：　８Ｃ＇　同理可得　ＱＳ＝Ｂｃ　又由Ｐｓ＝　Ｄ＝扣ｃ，知△ＰＱｓ是等边三角形．　（２）解由ＢＳ＝ＳＯ＋ＢＯ＝孚，ＣＳ＝手　，得　ＢＣ＝７，ＳＱ＝÷，１　　是　ｓ　Ｑ　４９　（３）解设ＣＤ＝ａ，ＡＢ＝６（ｂ＞口），则　ＳＡａ∞：Ｓａｃ∞　ｂ：ａ，　从而　５…＝　ｂ・　１每＝－￣４３　ａｂ．　［￣ＢＣ２＝ＣＳ２＋ＢＳ２＝（　６吲　＝　ａ　＋ａｂ＋ｂ　．　得　ｓ删＝　（ａ２＋ａ６＋６　）．　又由Ｉｓ△ｓＰＱ：Ｊｓ△Ａ∞＝７：８，得　８Ｓ△ｓｅｑ＝７Ｓ△＾０Ｄ，　即　８×　埘　×缸　于是　２ａ　一５ａｂ＋２ｂ　＝０．　答案　解得　ｂ＝２ａ，　从而　ＣＤ：ＡＢ＝１：２．　Ｊ　’ｙ　Ｊ　Ｃ　＃－－　Ｃ　＼　／　、　．ｆＤ　。　．｜ｏ　＼　｜ｏ　Ｆ｜　图９　ｌ８．解（１）由对称性可得点（一１，０），设Ｙ＝　口（　＋１）（　一３），将（Ｏ，２）代入，得ａ＝一Ｔ　，于是　）ｙ＝，　一一争　了　＋＋争　　。　（２）连结　Ｃ，交对称轴　＝１于点Ｐ，可知　ＡＰＢＣ的周长最小．根据点Ｂ，Ｃ的坐标可得过点　Ｂ，Ｃ的直线的一次函数解析式为　Ｙ＝一　一　＋２．＋ｚ・　将　＝ｌ代入，得，，＝了４，所以点Ｐ（１，　）．　（３）由ＡＯＥＤｖ，ＡＯＢＣ，得　ＯＤ一　一ＯＣ—ＯＢ’　即　２丁－ｔ＝丁ＯＥ，　ＯＥ－３＿争　连结　，得　Ｓ＝Ｓ口移迎ＰＤｏＥ—ＳＡｏＥＤ　ｓ　ＰｏＥ＋ＳＡＰｏｎ—ＳＡｏＥＤ　１×３一　３）×丁４＋　１×（２一ｔ）×ｌ一　１×３一手）（２　：　一手“争＝一手（　）　＋＿．３　又０＜ｔ＜２，知当￡＝１时，Ｊｓ最大：亍．　（供稿人：施储１