克山县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

克山县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的范围是（ ）

A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．[﹣∞，3] D．[﹣∞，3）

2． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）

A．20+2π

B．20+3π C．24+3π D．24+3π

2xy20,3． 如果点P在平面区域x2y10,上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为（ ）

xy20A．51 B．41 C. 221 D．21 5kx＋b

4． 函数f（x）＝，关于点（－1，2）对称，且f（－2）＝3，则b的值为（ ）

x＋1A．－1 C．2

2B．1 D．4

5． 已知函数f(x)f'(1)xx1，则A．10f(x)dx（ ）

7755 B． C． D． 6666【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等. 6． 直线A．

的倾斜角是（ ） B．

C．

D．

7． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正

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方形所组成，该八边形的面积为（ ）

A．2sin2cos2 B．sin3cos3 C. 3sin3cos1 D．2sincos1

8． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98

9． 已知命题“如果﹣1≤a≤1，那么关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ） A．0个

B．1个

C．2个

10．如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）

D．4个

A．（∁UB）∩A B．（∁UA）∩B C．∁U（A∩B） D．∁U（A∪B）

11．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ ） A．a=3

B．a=﹣3

C．a=±3

D．a=5或a=±3

，

12．记集合T={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M=将M中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ） A．C．

B．D．

二、填空题

13．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为 ． 14．抛物线y=x2的焦点坐标为（ ）

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A．（0， 15．复数z=

） B．（

，0） C．（0，4） D．（0，2）

（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．

16．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ．

17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

18．已知向量a(1,x),b(1,x1),若(a2b)a，则|a2b|（ ） A．2 B．3 C．2 D．5 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

三、解答题

19．已知函数f（x）=

20．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．

（I）求p的值；

（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

，求不等式f（x）＜4的解集．

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21．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；

（2）设a＞，且当x∈[，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

22．已知向量=（x，

y），=（1，0），且（+

）•（﹣

）=0．

（1）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；

（2）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．

23．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22列联表： 男 女 患心肺疾病 患心肺疾病 20 10 5 15 第 4 页，共 15 页

合计 25 25 精选高中模拟试卷

合计 30 20 50 （1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？ （2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.

（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K，判断心肺疾病与性别是否有关？ 下面的临界值表供参考： 2P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(adbc)22（参考公式：K，其中nabcd）

(ab)(cd)(ac)(bd)

24．（本小题满分13分） 已知函数f(x)ax33x21， （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

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克山县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x＜a}， 若A⊆B，则a＞3， 故选：B．

【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题． 2． 【答案】B 其底面面积S=2×2+底面周长C=2×3+

=4+

，

【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），

=6+π，高为2，

故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π， 故柱体的全面积为：12+2π+2（4+故选：B

【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．

3． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据约束条件画出可行域Z|PQ|表示圆上的点到可行域的距离,当在点A处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离5,当在点A处最小, |PQ|最小值为51,因此，本题正确答案是51.

）=20+3π，

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考点：线性规划求最值. 4． 【答案】

【解析】解析：选B.设点P（m，n）是函数图象上任一点，P关于（－1，2）的对称点为Q（－2－m，4－n），

则，恒成立．

k（－2－m）＋b

4－n＝－1－m

由方程组得4m＋4＝2km＋2k恒成立， ∴4＝2k，即k＝2，

2x＋b－4＋b∴f（x）＝，又f（－2）＝＝3，

x＋1－1∴b＝1，故选B. 5． 【答案】B

km＋bn＝

m＋1

6． 【答案】A

，

【解析】解：设倾斜角为α， ∵直线

的斜率为

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∴tanα=，

∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

7． 【答案】A 【解析】

试题分析：利用余弦定理求出正方形面积S11212-2cos22cos；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积S24确答案为A.

考点：余弦定理和三角形面积的求解.

【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角

111sin2sin；故八边形面积SS1S22sin2cos2.故本题正21111sinsin求出个三角形的面积4S2sin；接下来利用余弦定理可求出正22方形的边长的平方1212-2cos，进而得到正方形的面积S11212-2cos22cos，最后得到

形面积公式S答案.

8． 【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

9． 【答案】C

22

【解析】解：若不等式（a﹣4）x+（a+2）x﹣1≥0的解集为∅”， 则根据题意需分两种情况： ①当a2﹣4=0时，即a=±2，

若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去， 若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意； ②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，

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22

∵（a﹣4）x+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，

，解得

，

∴

综上得，实数a的取值范围是

．

则当﹣1≤a≤1时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题， 反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题， 故选：C．

故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，

【点评】本题考查了二次不等式的解法，四种命题真假关系的应用，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想．

10．【答案】A

∴对应的集合表示为A∩∁UB． 故选：A．

11．【答案】B

2

∴2a﹣1=9或a=9，

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，

2

【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，

当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；

2

当a=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；

∴a=﹣3． 故选：B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．

12．【答案】

A

【解析】

进行简单的合情推理． 【专题】规律型；探究型．

【分析】将M中的元素按从大到小排列，求第2013个数所对应的ai，首先要搞清楚，M集合中元素的特征，同样要分析求第2011个数所对应的十进制数，并根据十进制转换为八进行的方法，将它转换为八进制数，即得答案．

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【解答】因为=32

（a1×10+a2×10+a3×10+a4），

括号内表示的10进制数，其最大值为 9999； 从大到小排列，第2013个数为 9999﹣2013+1=7987

所以a1=7，a2=9，a3=8，a4=7 则第2013个数是故选A．

【点评】对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数（即第一个数），再找出第n个数对应的十进制的数即可．

二、填空题

13．【答案】 （1，2） ．

222

【解析】解：由2ρcosθ=sinθ，得：2ρcosθ=ρsinθ， 即y=2x．

2

．

由ρcosθ=1，得x=1． 联立

，解得：

∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．

14．【答案】D

22

【解析】解：把抛物线y=x方程化为标准形式为x=8y，

∴焦点坐标为（0，2）． 故选：D．

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．

15．【答案】 ．

【解析】解：复数z=

=﹣i（1+i）=1﹣i，

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复数z=故答案为：

（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．

．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

16．【答案】 ﹣2 ．

n+1*

【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），

n

∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=x

n+1

*

（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），

该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，

∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99

，

=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．

17．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

18．【答案】A 【

解

析

】

=6．

=

，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：函数f（x）=

当x≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x＜0；

，不等式f（x）＜4，

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当x＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x＜﹣1． 综上x∈（﹣3，0）．

不等式的解集为：（﹣3，0）．

20．【答案】

，准线方程为

．

2

【解析】解：（I）由题意可知，抛物线y=2px（p＞0）的焦点坐标为

所以，直线l的方程为由

…

…

．…

2

消y并整理，得

设A（x1，y1），B（x2，y2） 则x1+x2=3p，

又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…

2

（II）由（I）可知，抛物线的方程为y=2x．

由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．… 由方程组

2

（1）

可得ky﹣2y+4k﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．

2

把y=﹣1代入y=2x，得

．

这时．直线m与抛物线只有一个公共点

当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k﹣2k﹣1＜0． 解得于是，当

．

且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这

．…

时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，… 因此，所求m的取值范围是

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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21．【答案】

【解析】解：（1）由|2x﹣1|+|2x+2|＜x+3，得： ①

得x∈∅； 得0＜x≤；

②

③得…

…

综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为（2）∵a＞，x∈[，a]， ∴f（x）=4x+a﹣1…

由f（x）≤g（x）得：3x≤4﹣a，即x≤依题意：[，a]⊆（﹣∞，∴a≤

即a≤1…

]

．

∴a的取值范围是（，1]…

22．【答案】

【解析】解：（1）由题意向量=（x，∴化简得

，

．…

y），=（1，0），且（+，

）•（﹣

）=0，

∴Q点的轨迹C的方程为（2）由

222

得（3k+1）x+6mkx+3（m﹣1）=0，

22

由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m＜3k+1．①…

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yP）xM、xN分别为点M、N的横坐标，（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（xP，，则从而

，

，…

，

又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN． 则

2

，即2m=3k+1，②

2

将②代入①得2m＞m，解得0＜m＜2，由②得，解得，

故所求的m的取值范围是（，2）．…

22

（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m＜3k+1，

解得﹣1＜m＜1．…

综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2）， 当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…

【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.

24．【答案】（本小题满分13分）

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解：（Ⅰ）f(x)3ax26x3x(ax2)， （1分）

22或x0，解f(x)0得0x， aa22∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分）

aa②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

22③当a0时，解f(x)0得x0，解f(x)0得x0或x

aa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a4∵f0，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分） 2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,) （12分）

21综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （13分）

2①当a0时，解f(x)0得x

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