2019年海南省中考数学试题(含解析)

数 学

(满分120分,考试时间100分钟)

一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对

得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分

1．(2019海南,1题,3分) 如果收入100元记作+100元,那么支出100元记作( ) A.－100元 B.+100元 C.－200元 D.+200元 【答案】A

【解析】收入和支出是互为相反意义的量,收入记为+,则支出记为－,因此,支出100元记作－100元,故选A. 【知识点】互为相反意义的量

2．(2019海南,2题,3分) 当m＝－1时,代数式2m+3的值是( )

A.－1 B.0 C.1 D.2 【答案】C

【解析】当m＝－1时,2m+3＝2×(－1)+3＝1,故选B. 【知识点】有理数计算,代数式求值

3．(2019海南,3题,3分)下列运算正确的是( ) A.a·a2＝a3 B.a6÷a2＝a3 C.2a2－a2＝2 D.(3a2)2＝6a4 【答案】A

【解析】A正确;B.a6÷a2＝a4,故B错误;C.2a2－a2＝a2,故C错误;D.(3a2)2＝9a4,故D错误;故选A. 【知识点】合并同类项,同底数幂的乘除法,积的乘方,幂的乘方

4．(2019海南,4题,3分) 分式方程

A.x＝1 D.x＝－2 【答案】B

【解析】去分母得,1＝x+2,移项,合并,得:x＝－1,经检验,x＝－1是原分式方程的解,∴x－1,故选B. 【知识点】分式方程的解法

5．(2019海南,5题,3分)海口市首条越江隧道——文明越江通道项目将于2020年4月份完工,该项目总投资

3710000000元.数据3710000000用科学记数法表示为( ) A.371×107 B.37.1×108 C.3.71×108 D.3.71×109 【答案】D

【解析】根据科学记数法,3710000000＝3.71×109,故选D. 【知识点】科学记数法

6．(2019海南,6题,3分)如图1是由5个大小相同的正方体摆成的几何体,它的俯视图是( ) ．．．

A.x>4

B.x>－1

C.－1D.x<－1

11的解是( ) x2B.x＝－1 C.x＝2

第6题图 【答案】D

【解析】从上面看,这个几何体由4个正方形构成,其中第一排3个,第二排1个,故选D. 【知识点】解不等式组

7．(2019海南,7题,3分) 如果反比例函数yA.a<0 B.a>0 【答案】D

【解析】反比例函数的图象在第一,三象限,那么a－2>0,∴,a>2,故选D. 【知识点】反比例函数的图象

8．(2019海南,8题,3分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,－1),平移线段AB,使点A落在点A1(－2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为( )

A.(－1,－1) B.(1,0) C.(－1,0) D.(3,0)

a2(a是常数)的图象在第一,三象限,那么a的取值范围是( ) xC.a<2 D.a>2

第8题图

【答案】C

【解析】∵点A(2,1)平移后落在A1(－2,2),∴是向左平移4个单位,向上平移1个单位,∴点B(3,－1)平移后的点B1坐标为(3－4,－1+1),即B1(－1,0),故选C. 【知识点】点的平移

9．(2019海南,9题,3分)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1,l2于B,C两点,连接AC,BC,若∠ABC＝70°,则∠1的大小为( )

A.20° B.35° C.40° D.70°

第9题图 【答案】C

【解析】由题可知,AB＝AC,∴∠ACB＝∠ABC＝70°,∴∠BAC＝40°,∵l1∥l2,∴∠1＝∠BAC＝40°,故选C. 【知识点】等边对等角,三角形内角和,平行线的性质

10．(2019海南,10题,3分)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是( )

1 2【答案】D

A.

B.

3 4 C.

1 12 D.

5 12【解析】一个循环是30+25+5＝60(秒),∴遇到绿灯的概率为

255=,故选D. 6012【知识点】概率

11．(2019海南,11题,3分)如图,在ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若∠B＝60°,AB＝3,则△ADE的周长为( )

A.12 B.15 C.18 D.21

第11题图 【答案】C

【解析】∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,∴AC⊥DE,EC＝CD＝AB＝3,∴ED＝6,∵∠B＝60°,∴∠D＝60°,∴AD＝2CD＝6,∴AE＝6,∴△ADE的周长＝AE+AD+ED＝18,故选C. 【知识点】折叠,三角函数,平行四边形

12．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥

AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )

A.

8 13 B.

15 13 C.

25 13 D.

32 13

第12题图 【答案】B

【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,

列出方程,进而求得AP长度. 【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝∴x＝

2439x,∴AC＝x＝3,55515,AP＝3x＝,故选B. 1313

第12题答图

【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程

二、填空题:本大题共4小题,满分16分,只填写最后结果,每小题填对得4分. 13．(2019海南,13题,4分)因式分解:ab－a＝________. 【答案】a(b－1)

【解析】用提公因式法进行因式分解,ab－a＝a(b－1). 【知识点】因式分解

»所对的圆心角14．(2019海南,14题,4分)如图,O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD∠BOD的大小为________度.

第14题图

【答案】144

【解析】∵O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,∴OB⊥AB,OD⊥DE,∵正五边形每个内角为108°,∴∠O＝∠C+∠OBC+∠ODC＝108°×3－90°×2＝144°. 【知识点】正多边形,切线的性质

15．(2019海南,15题,4分)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(0°<<90°)得到AE,直角边AC

绕点A逆时针旋转(0°<<90°)得到AF,连接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,则EF＝________.

第15题图 【答案】13 【解析】∵+＝∠B,∴∠EAF＝∠BAC+∠B＝90°,∴△AEF是直角三角形,且AE＝AB＝3,AF＝AC＝2,∴EF＝AE2AF2＝13 【知识点】旋转,勾股定理

16．(2019海南,16题,4分)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两个数的和,如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是______,这2019个数的和是______. 【答案】0,2

【思路分析】由题中规则进行列举,找到规律后进行计算即可.

【解题过程】根据题目的规则,0,1,1,0,－1,－1,0,1,1,0,－1,－1,……,每6个数是一个循环单位,∴前6个数的和是0,2019÷6＝336…3,∴这2019个数的和＝0+1+1＝2. 【知识点】找规律

三、解答题:本大题共6小题,满分68分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(2019海南,17题,12分) (1)计算:9×32+(－1)3－4; －

x10(2)解不等式组,并求出它的整数解.

x43x【思路分析】(1)根据实数的计算法则进行计算;(2)解不等式组,求出解集,得到整数解.

1【解题过程】(1)原式＝9×+(－1)－2＝－2;

9(2)解不等式①,得x>－1,解不等式②,得x<2,∴原不等式组的解集为－118．(2019海南,18题,10分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到\"海南爱心扶贫网\"上选购百香果,若购买2

千克\"红土\"百香果和1千克\"黄金\"百香果需付80元,若购买1千克\"红土\"百香果和3千克\"黄金\"百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各是多少元? 【思路分析】根据题意列二元一次方程组即可求得.

2xy80x25【解题过程】设每千克\"红土\"百香果x元,每千克\"黄金\"百香果y元,根据题意得:,解得,∴每

x3y115y30千克\"红土\"百香果25元,每千克\"黄金\"百香果30元.

【知识点】二元一次方程的应用

19．(2019海南,19题,8分)为宣传6月6日世界海洋日,某校九年级举行了主题为\"珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性\"的知识竞赛活动.为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图.请根据图表信息回答以下问题: (1)本次调查一共随机抽取了______个参赛学生的成绩; (2)表1中a＝______;

(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的\"组别\"是______;

(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有______人.

第19题图

【思路分析】(1)用D组的频数和百分比可求得总人数;(2)总人数减去其他3组人数即为A组人数a;(3)根据中位数的定义结合表格进行判断;(4)用样本百分比估计总体.

【解题过程】(1)18÷36%＝50(人);(2)50－10－14－18＝8;(3)总共50个成绩,中位数应是第25,26个的平均数,第

14+18=320(人). 50【知识点】统计表,扇形统计图,中位数,样本估计总体

20．(2019海南,20题,10分)图9是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里. (1)填空:∠BAC＝______度,∠C＝______度; (2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).

25,26个数落在C组;(4)500

【思路分析】任务一:根据平均数的计算方法求值即可;任务二:设出旗杆高度,表示出CE,DE的长度,得到方程,即可解得;任务三:根据实际情况分析原因.

【解题过程】(1)∵小岛C在码头A的北偏西60°方向上,∴∠BAC＝30°,在△ABC中,∠ABC＝90°+15°＝105°,∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°;

(2)设BP＝x海里,则在Rt△BCP中,CP＝BP＝x,在Rt△ABP中,AP＝3BP＝3x,∵AC＝10,∴3x+x＝10,∴x＝53－5,答:观测站B到AC的距离为(53－5)海里.

【知识点】三角函数的应用

21．(2019海南,21题,13分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q. (1)求证:△PDE≌△QCE;

(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.

第21题图

【思路分析】(1)由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;(2)①通过证明全等得到AP＝EF,由平行线的传递性得到平行,故四边形AFEP是平行四边形;②列出方程得到AP的长,与PE比较,不能判定四边形AFEP是菱形. 【解题过程】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠D＝∠BCD＝90°,∴∠ECQ＝90°＝∠D.∵E是CD的中点,∴DE＝CE,又∵∠DEP＝∠CEQ,∴△PDE≌△QCE; (2)①证明:如图,由(1)得△PDE≌△QCE,∴PE＝QE＝

11PQ,又∵EF∥BC,∴PF＝FB＝PB,∵PB＝PQ,∴PF＝PE,221BP＝FP,∴∠32∴∠1＝∠2,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,在Rt△ABP中,F是PB的中点,∴AF＝

＝∠4,∵AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF,∴∠1＝∠4,∴∠2＝∠3,又∵PF＝FP,∴△APF≌△EFP,∴AP＝EF,又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.

②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD＝x,则AP＝1－x,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴CQ＝PD＝x,∴BQ＝BC+CQ＝1+x,∵点E,F分别是PQ,PB的中点,∴EF是△PBQ的中位线,∴EF＝

11+xBQ＝.由①可知AP＝EF,即122－x＝

1+x112113,解得x＝,∴PD＝,AP＝,在Rt△PDE中,DE＝,∴PE＝PD2+DE2＝,∴AP≠PE,∴四

623332边形AFEP不是菱形.

第21题答图

【知识点】三角形的内心,圆的对称性,等角对等边

22．(2019海南,22题,15分)如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD. (1)求该抛物线的表达式;

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

第22题图

【思路分析】(1)由点A,B可得抛物线表达式;(2)①设出点P坐标,表示出△PBC的面积,通过二次函数的最值求得面积最大值;②分类讨论点P坐标,利用平行和点B坐标求出第一种情况,利用垂直和BC中点坐标可求得第二种情况.

【解题过程】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+5经过点A(－5,0),B(－4,－3),∴íììï25a-5b+5=0ïa=1,解得í,∴该抛物

ïïî16a-4b+5=-3îb=6线的表达式为y＝x2+6x+5;

(2)①如图,过点P作PE⊥x轴于点E,交直线于点F,在抛物线y＝x2+6x+5中,令y＝0,则x2+6x+5＝0,解得,x1＝－5,x2＝－1,∴点C的坐标为(－1,0),由点B和点C坐标可得,直线BC的表达式为:y＝x+1.设点P的坐标为(t,t2+6t+5),由

3骣5题知－4②存在.∵y＝x2+6x+5＝(x+3)2－4,∴抛物线的顶点

D的坐标为(－3,－4),由点C和点D的坐标可得直线CD的表

达式为y＝2x+2,分两种情况讨论:当点P在直线CD上方时,有∠PBC＝∠BCD,则PB∥CD,设直线PB的表达式为y＝2x+b,把点B坐标代入,得b＝5,∴y＝2x+5,令x2+6x+5＝2x+5,得x1＝0,x2＝－4,∴点P的坐标为(0,5);当点P在直线BC下方时,有∠PBC＝∠BCD,设直线PB与CD交于点M,则MB＝MC,过点B作BN⊥x轴于点N,则点N(－4,0),∴NB＝NC＝3,∴MN垂直平分线段BC,设直线MN与BC交于点G,则线段BC的中点G的坐标为(-53,-),22由点N(－4,0)和G(-53,-)得,直线NG的表达式为y＝－x－4,令2x+2＝－x－4,解得x＝－2,∴点M的坐标为(－22113x－1,令x2+6x+5＝x－1,解得x1＝-,x2＝－4(舍2222,－2),由点M和点B的坐标可得,直线BM的表达式为y＝

去),∴点P的坐标为(-3737,-).综上所述,存在满足条件的点P坐标为(0,5)和(-,-). 2424

第22题答图

【知识点】二次函数表达式,三角形面积,二次函数最值,平移,垂直,中点坐标公式,交点坐标