盈亏问题

【盈亏问题公式】

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”　　解（7+9）÷（10-8）=16÷2　　=8（个）………………人数

　　10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子

　　或8×8+7=64+7=71（个）（答略）（2）两次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？”　　解（680-200）÷（50-45）=480÷5　　=96（人）

　　45×96+680=5000（发）

　　或50×96+200=5000（发）（答略）（3）两次都不够（亏），可用公式：

（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

　　例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生和多少本本子？”　　解（90-8）÷（10-8）=82÷2　　=41（人）

10×41-90=320（本）（答略）

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：　亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

解决盈亏问题常用比较的解题策略：

通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。

此类问题基本数量关系有：① 盈适足问题：

盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。② 亏适足问题：

亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

③ 两盈问题：

（盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。④ 两亏问题：

（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。⑤ 盈亏问题：

（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

第44讲学习比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。

第45讲学习较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。【题目】：

“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。问这个小队有多少人？一共要栽多少棵树？

【解析】：

可以画出线段图帮助理解题意，如下图：

观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。

雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；而每个人多栽：7－5=2（棵）；

所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。【题目】：

小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？【解析】：

转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少20个苹果。

可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20个苹果和每人分18个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。

分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）；每人多分：20－18=2（个）；

所以共有小朋友：22÷2=11（个）。由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：（11—1）×20=200（个）。【题目】：

学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人？共租了多少条船？

【解析】：

这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每条船做3人，可以多坐14人。

比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。可乘坐总人数相差：16－2=14（人）；每条船乘坐人数相差：5－3=2（人）；所以共租船：14÷2=7（条）。

根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：7×3－2=19（人）。【题目】：

全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？

【解析】：

转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24人。

转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。总人数增加：12×2=24（人）；每组人数增加：12－8=4（人）；原定组数为：24÷4=6（人）。

再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8×6=48（人）。注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。【题目】：

解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中

由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车？共派出多少名战士？

【解析】：

在重新安排时，每辆车35人，少了一辆车，多出7人。如果补上这辆车，可以坐上这7个人，还可以再坐：35－7=28（人）。所以这个条件可以转化为：仍然是原来的车辆数，每辆车35人，少了28人。

转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。乘坐总人数相差：5＋28=33（人）；每辆车乘坐人数相差：35－32=3（人）；所以原来车辆数为：33÷3=11（辆）。

再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11×32＋5=357（人）。【题目】：

少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽6棵，还剩12棵；如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。问这批树苗有多少棵？参加植树的少先队员有多少人？【解析】：

第二种方案中有9个小队员每人栽4棵树苗，假定这9个小队员每人也栽8棵，则需要再添树苗：9×（8－4）=36（棵）。

因此题中条件“如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。”可以转化为：如果所有队员每人栽8棵，就缺少树苗：36＋2=38（棵）。

从而把原题转化为盈亏问题求解：

少先队员人数为：（38＋12）÷（8－6）=25（人）；这批树苗总棵树为：25×6＋12=162（棵）。【题目】：

在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，

其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。【解析】：

第一种方案中，有2人擦4块玻璃，假定这两人也擦5块，就可以多擦：2×（5－4）=2（块）。

因此题中条件“如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；”可以转化为：如果每人擦5块，则余：22－2=20（块）。

从而把原题转化为盈余问题求解：

擦玻璃人数为：20÷（7－5）=10（人）；玻璃的块数为：10×7=70（块）。【题目】：

猴子分桃子，如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。问猴子有多少只？桃子有多少个？【解析】：

第一种分配方案中，有2只猴子各分5个，假定这2只猴子和其余猴子一样也是分3个，在剩余的桃子就多出：2×（5－3）=4（个）。

因此题中条件“如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。”可以转化为：每只小猴分3个，则剩余：9＋4=13（个）。

第二种分配方案中，有4只猴子各分3个，假定这4只猴子和其余猴子一样也是分6个，则需要再分掉：4×（6－3）=12（个）。

因此题中条件“如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。”可以转化为：每只小猴分6个，则缺少：12－10=2（个）。

从而把原题转化为盈亏问题求解：

共有猴子：（13＋2）÷（6－3）=5（个）；共有桃子：2×5＋（5－2）×3＋9=28（个）。【题目】：

有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完

时还剩2个梨，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个？【解析】：

第二分配方案中，半个苹果配2个梨就相当于1个苹果配4个梨，还剩下半个苹果，还需要添2个梨正好配完。

因此题中条件“如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，”可以转化为：如果按1 个苹果配4个梨，就缺2个梨。

从而把原题转化为盈亏问题求解：

共有苹果：（2＋2）÷（4－3）=4（个）；共有梨：4×3＋2=14（个）。【题目】：

陈老师给小朋友分红花和黄花，黄花的朵数是红花的一半。黄花每人分3朵，则多4朵；红花每人分7朵，则少5朵。问有多少个小朋友？共有多少朵花？【解析】：

因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花的2倍。因此题中条件“黄花每人分3朵，则多4朵；”可以转化为：红花每人分6朵，则多8朵。

把题目转化成盈亏问题求解：

小朋友的个数为：（8＋5）÷（7－6）=13（个）；共有红花：13×7－5=86（朵）；共有花：86＋86÷2=129（朵）。1．将一些糖果分给幼儿班的小朋友，如果每人分3粒，还多17粒；每人分5粒，又少13粒。则有多少名小朋友？有多少粒糖？

　　2．把一筐桃分给一些小猴。每只小猴分5个桃，最后多16个；每只小猴分7个，又缺12个桃子不够分。小猴有多少只？桃有多少个？

　　3．学校最近买来一批电风扇，分给初中班。若有两个班每班分到4台，其余每班只能分2台；如果有一个班分6台，其余每班分4台，还差

12台。共买来多少电风扇？有几个班？

　　4．同学们去公园划船，每条船坐4人，就会少3条船；每条船坐6人，还有2人坐不下。一共有多少个同学？小船有几条？

　　5．工厂新建一宿舍，每间住4人，则有34人没床位，每间住6人，则又多5间房，共有多少名工人要安排住宿？

　　6．用筐装西瓜，如果每筐装5个，则少15个西瓜；如果每筐装3个，则多29个西瓜，共有筐多少个？西瓜多少个？

　　7．妈妈送给阿明一个相册。阿明把他的相片全部装入相册。如果每页装3张，最后空着2页。如果每页装5张，最后空9页。阿明共有几张相片，相册共多少页？

　　8．学校规定早晨7点到校，黄青以60公尺/分的速度上学，可以提前2分钟到，若以50/分的速度，又会迟到2分钟。黄青上学动身时间应该是几时几分？

9．一个学生上学，先用50公尺/分的速度走了2分钟，这样下去会迟到8分钟；后来他改为60公尺/分的速度前进，结果早到5分钟。他从家到学校有多少公尺？

解奥数应用题盈亏问题练习题一

　　1、学校有一批树苗，交给若干名少先队员去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不够分；如果再拿来8棵树苗，那么每个少先队员正好栽10棵。问参加栽树的少先队员有多少人？原有树苗多少棵？

　　2、小明一元钱买了5支铅笔和8块橡皮，余下的钱，如果买1支铅笔就不足2分，如果买一块橡皮就多出1分，每支铅笔多少分？每块橡皮多少分？

　　3、四（1）班同学植树，每人植1棵还剩20棵，每人植2棵差30棵。

有多少个同学？多少棵树苗？

　　4、学雷锋小组为学校搬砖。如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问共有多少块砖？

　　5、老师把一些苹果分给小朋友。如果每人分一个，还剩下8个苹果；如果每人分2个，那么还少2个苹果。一共有多少个小朋友？

　　6、少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？

　　7、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友，每人5个余10个；如果分给小班的小朋友，每人8个缺2个。已知大班比小班多3个小朋友。这一筐苹果有多少个？

　　8、一小包糖分给几个小朋友，如果每人分3块，则余3块；如果每人分5块，则少一块。那么小朋友有多少人？糖有多少块？

　　9、王华用自己仅存的漆包线在磁棒上绕线圈，当他绕了80圈时，测得余线长15.28厘米，于是想改绕90圈，却发现缺少22.4厘米的漆包线，王华的漆包线有多长？所用的磁棒的半径是多少？

　　10、 李老师将一叠练习本分给第一小组同学，每人分7本还多7本，如果每人分9本，那么有一个同学分不到。请算一算，第一小组有几个同学？这叠练习本有多少本？

解奥数应用题盈亏问题练习题二　　1、甲和乙两人都买了一套相同的信笺盒，甲把每个信封里装一张信笺纸，结果用完了所有的信封，但剩下50张信纸；乙把每个信封里装三张信纸，结果用完了所有的信纸，剩下50个信封。问每套信笺盒中有多少张信纸？有多少个信封？

　　2、大猴子采到一堆桃子，平均分给小猴吃，每只小猴分10个桃子，有两只小猴没分到，第二次重分，每只小猴8个桃子，刚巧分完。问一堆桃子有多少个？小猴有几只？

　　3、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人。如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班有多

少同学？

　　4、小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，还多出4只，如果一人分6只，其余每人分4只，又缺12只，小红家买来多少只桔子？小红家共有多少人？

　　5、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖，如果其中2人各挖4个，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖了多少树坑？

解奥数应用题盈亏问题练习题三　　1、一个学生从家到学校，先用每分钟50米的速度走2分钟后，感到如果这样走下去，他上课就要迟到8分钟。后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟，这个学生家到学校的距离是多少？

　　2、用一根绳绕树5周还剩1/6米，若用绳的三分之一绕树一周还余5/6米，求绳长和树的周长各是多少？

　　3、用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子三折时，还差40厘米。求绳长和游泳池水深。

　　4、某人从A地到B地如果每分钟90米的速度走，那么要迟到5分钟；如果每分钟走100米，那么仍迟到3分钟。他应以每分钟多少米的速度走才能准时到达？

　　5、 某校参加六一杯小学数学竞赛，原定考场若干个。如果增加2个考场，每个考场正好坐24人；如果减少2个考场，每个考场正好坐30人。参加这次竞赛的学生共有多少人？

　　6、学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人；每个房间住5人，正好可全部安排好。问有多少个房间？有多少学生？

　　7、育才小学学生乘汽车去春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？

解奥数应用题盈亏问题练习题四　　1.若干个同学去划船，他们租了一些船。若每船坐4人，则多5人；

若每船坐5人，则船上有4个空位。问，这个小组一共有多少同学？租了多少条船？

　　2．居民小组参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵；如果每人栽7棵树，就缺4棵。问，这个居民小组有多少人？一共要栽多少棵树？

　　3．幼儿园的小朋友分玩具，如果每人分18件，还多出2件；如果每人分20件，就有1位小朋友分不到玩具。问，共有多少个小朋友？多少件玩具？

　　4．少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么，还有3个坑没人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问，一共要挖多少坑？

　　5．在桥上用绳子测桥离水面的高度，若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问，桥有多高？绳子有多长？

　　6．猴王分桃子，如果有2只猴子各分5个，其余的各个分3个，则剩下9个桃子；如果有4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。问，猴子有几只？桃子有几个？

　　7.有若干个苹果和梨，如果每1个苹果2个梨分堆，那么，梨分完后还剩5个苹果；如果按每3个苹果5个梨分堆，那么，苹果分完后还剩5个梨。问，苹果和梨各有多少？

　　8．水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么，哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜。问，西瓜和哈密瓜共有多少个？

　　9．小红从家到火车站赶乘火车，如果每小时行4千米，那么火车开时，她还离车站1千米；如果每小时行5千米，那么她就早到车站12分钟。问，小红家离车站多少米？

10．小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分；如果每分钟走80米，那么将提前3分。问，小明家距离学校多远？

解奥数应用题盈亏问题练习题五

　　1.水果店里运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克 0。4元，小的每千克 0。3元，这样全部能卖290元。如果每千克西瓜降价0。05元，则这批西瓜只能卖250元，问，水果店共运来西瓜多少千克？　　2．学校里一次考试共有4道题，4个学生：甲只做对了（1）、（2）、（3）题，得了18分；乙只做对了（2）、（3）、（4）题，得了22分；丙只做对了（1）、（2）、（4）题，丁只做对了（1）、（3）、（4）题，丙和丁都得了25分。求，这4道题中每一题各是多少分？

　　3．甲城有177吨贷物要一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车各跑一趟的耗油量分别是10千克和5千克。问，用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？

　　4．小刚和爸爸约好去公园，爸爸骑车，他跑步。小刚先跑10分钟后，爸爸骑车去追他，在距家800米处追上了他。这时爸爸想起没带照相机，于是立即回家去拿，并及时返回去追小刚。再追上小刚时，已距家1200米。问，小刚每分钟行走多少米？他爸爸每分钟骑车行驶多少米？

　　5．某小队学生参加工厂劳动，平均每人生产76个零件。已知每个人至少做70个，其中有一人做了88个。如果不把这个同学计算在内，那么平均每人做74个。问，在这种情况下做得最多的同学可能做多少个零件？

　　6．某商店进了定价分别为210元、90元、60元的羊毛衫共47件，卖完后共得6360元。已知定价为90元的羊毛衫件数是定价为60元羊毛衫件数的2倍。求，三种羊毛衫各进了多少件？

　　7．从甲城往乙城运输78吨贷物，载重量为5吨的大卡车运一趟，运费为110元；载重量为2吨的小卡车运一趟，运费为50元。要使运费最省，运送这批贷物需要大、小卡车各多少辆？运费为多少？

　　8．有一个三位数，个位数字是十位数字与1。5相乘积，十位数字

是百位数字除以2的商，个位、十位、百位三个数字的和是18。问，这个三位数是多少？

　　9．学校举行田径运动会，小赵和小王参加100米赛跑。已知小赵从开始到终点是以每秒2米的速度跑。小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0。1米。问，他们两人谁能获胜？为什么？请说明理由。　　10．黄浦江对江两个渡口A、B之间有两条渡船，分别以各自的常速同时往返行驶于两个渡口，两船在江中离A渡200米处首次相遇，相遇后继续向对江渡口驶去，各自到渡口后，立即掉头再驶向原来出发的渡口，这样在离渡口B渡100米处第二次相遇。假设不计渡船在渡口停留时间，那么渡口A、B之间的距离是多少千米？