2014年高考理科数学全国卷2含答案

5 C. 2 D. 1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是【A】 A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是

梦想不会辜负每一个努力的人- 1 -

某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为【C】 17A. 27 5B. 9 10C. 27

1D. 3 7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=【D】 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= 【D】 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9.设x,y满足约束条件A. 10

B. 8

xy7≤0x3y1≤03xy5≥0C. 3

，则

z2xy的最大值为【B】 D. 2 2y3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标

10.设F为抛物线C:

原点，则△OAB的面积为【D】 33A. 4

93B. 8 63C. 32 9D. 4 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1， 则BM与AN所成的角的余弦值为【C】 1 A. 10 2B. 5

30C. 10

2D. 2 222fx3sinxxfxfxx00mm012.设函数.若存在的极值点满足，则m的取

值范围是【C】 A.

,66,

B.

,44,

C.

,22,

D.

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,14, 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题 13.

xa1017的展开式中，x的系数为15，则a= 2 .(用数字填写答案) 的最大值为 1 . 14.函数

fxsinx22sincosxfx在

15.已知偶函数

0,单调递减，f20.若fx10，则x的取值范围是

（1,3） . 22xxy1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 016.设点M（,1），若在圆O:

1,1 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列

an满足a1=1，an13an1. na12是等比数列，并求a的通项公式； （Ⅰ）证明

n（Ⅱ）证明：解： 11…+13a1a2an2. （I）由

an13an1得

an1113(an)22。 又

a11133an2是首项为2，公比为3的等比数列。 22，所以

13n3n1anan22，因此an的通项公式为2. 梦想不会辜负每一个努力的人- 3 -

（Ⅱ）由（I）知

12nan31

11nn1nn1因为当n1时，3123，所以3123。 于是

11111313...1...n1(1n)a1a2an332321113...a1a2an2。 所以 18. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 解： （I）连接BD交AC于点O,连结EO。 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。 又E为PD的中点，所以EO∥PB。 EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB∥平面AEC. （Ⅱ）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直。



AP

如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐

3131E(0,,),AE(0,,)D(0,3,0),Axyz2222. 标系，则

梦想不会辜负每一个努力的人- 4 -

 设

b(m,0,0)(m0)，则c(m,3,0),AC(m,3,0)。

设

n1(x,y,z)为平面ACE的法向量， mx3yn0,1AC0,31则n0,yz1AE即220,， n1(3,1,3)可取m。 又

n2(1,0,0)为平面DAE的法向量， cosn1,n21由题设

2，即 3134m22m3，解得2。 1因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为2. 三菱锥EACD的体积 V13123313 228. 19. （本小题满分12分） 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 梦想不会辜负每一个努力的人- 5 -

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： bttyyiii1ntiti1n2，

ˆˆybta 解： （I） 由所给数据计算得 t

17（1+2+3+4+5+6+7）=4 1

7（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3 1y

7

(tt17t)2=9+4+1+0+1+4+9=28

(tt11t)(y1y) =（3）×（1.4）+（2）×（1）+（1）×（0.7）+0×0.1+1×0.5 +2×0.9+3×1.6 =14. b

(tt171t)(y1y)2t)1(tt17140.528， ybt4.30.542.3a. y0.5t2.3. 所求回归方程为

（Ⅱ） 由（I）知，b=0.5﹥0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，

平均每年增加0.5千元。 将2015年的年份代号t=9带入（I）中的回归方程，得 梦想不会辜负每一个努力的人- 6 -

y0.592.36.8 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 20. （本小题满分12分） 2x2y1ab02FFMF2与x轴垂直，b2设1,2分别是椭圆C:a的左,右焦点，M是C上一点且

直线

MF1与C的另一个交点为N. 3（Ⅰ）若直线MN的斜率为4，求C的离心率； （Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且

MN5F1N，求a,b. b2M(c,),2b23ac22a解：（I）根据cab及题设知 c1c,22222 将bac代入2b3ac，解得a2a（舍去） 1 故C的离心率为2. （Ⅱ）由题意，原点O为

F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)

b24MF1a是线段的中点，故，即

由设

b24a

① 。 MN5F1N得

DF12F1NN(x1,y1)，由题意知y10，则 3xc,12(cx1)c2y12y12，即1 梦想不会辜负每一个努力的人- 7 -

9c21212b代入C的方程，得4a。 9(a24a)11222cab4a4a将①及代入②得 2a7,b4a28， 解得

故

a7,b27. 21. （本小题满分12分） 已知函数

fxexex2x= fx的单调性； ，当x0时，

（Ⅰ）讨论（Ⅱ）设

gxf2x4bfxgx0,求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142解： 21.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001） xxf'(x)ee20，等号仅当x0时成立。 （I）=

所以

f(x)在(,) 2x2xxxg(x)f(2x)4bf(x)ee4b(ee)(8b4)x （Ⅱ）=

2x2xxxg'(x)=2ee2b(ee)(4b2) 而

xxxx2(ee2)(ee2b2) =

（i）当b2时，

g'(x)≥0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(,)单调递增。

g(0)=0，所以对任意x0,g(x)0；

2xx0xln(b1b2b)时 b22b2x2ee（ii）当时，若满足，即

g'(x)＜0.而g(0)=0，因此当0xln(b1b22b)时，g(x)＜0. 综上，b的最大值为2. 梦想不会辜负每一个努力的人- 8 -

g(ln2)（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

322b2(2b1)ln22. g(ln2)

当b=2时，

8233426ln22＞0；ln2＞12＞0.6928； b

当

3212ln(b1b2b)ln2， 4时，

322(322)ln2g(ln2)=2＜0，

182ln2＜28＜0.6934 所以ln2的近似值为0.693. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交

于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）ADDE=2PB 2 解：（Ⅰ）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA 梦想不会辜负每一个努力的人- 9 -

∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB,

所以∠DAC=∠BAD，从而BEEC。 因此BE=EC.

（Ⅱ）由切割线定理得PAPBPC。 因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得ADDEBDDC， 所以ADDE2PB. 23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

222cos， 0,2. l:y3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参

（Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线数方程，确定D的坐标. 22(x1)y1(0y1). 解： （I）C的普通方程为

可得C的参数方程为 x1cost,ysint,（t为参数，0tx） 梦想不会辜负每一个努力的人- 10 -

（Ⅱ）设D

(1cost,sint).由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同， tant3,t

3. (1cos 故3,sin3)(32,32)D的直角坐标为

，即。 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数

fxx1xa(a=a0) （Ⅰ）证明：fx≥2； （Ⅱ）若

f35，求a的取值范围. 解：（I）由a0，有

f(x)x1axax11a(xa)aa2. 所以

f(x)≥2. f(3)31a3a（Ⅱ）

. a1521当时a＞3时，

f(3)=

a，由f(3)＜5得3＜a＜2。 115当0＜a≤3时，

f(3)6a=

a，由f(3)＜5得2＜a≤3. 15521 综上，a的取值范围是（2，2）. 梦想不会辜负每一个努力的人- 11 -