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CT系统参数标定及成像

2024-04-11 来源:尚车旅游网
CT系统参数标定及成像

作者:潘云龙,隋立洋,吴润晨

来源:《黑龙江工业学院学报(综合版)》 2018年第3期

摘要:借2017年全国大学生数学建模竞赛A题目的背景,用数学上的方法展开对模型的建立与优化。考虑到CT机器内部的结构越来越复杂,人们即便能够熟练掌握各机器的操作与使用,但对于其成像原理和数据的处理也并不清楚。故对最基本的CT系统的成像原理和数据处理进行简单的分析。基于二维CT系统,研究分析其成像原理,对其误差以及精准性进行改进,使成像模型更加优化。关键词:CT系统;成像原理;数据处理;理想化模型;矩阵转换中图分类号:TP391.41文献标识码:A1CT成像系统问题重述

1.1背景介绍当今社会,随着科学技术不断深入发展,CT成像系统的应用已遍布各大社科领域,带来的影响也逐渐改善人类生活。CT的原理就是在不破坏样品的情况下,在不同断面上,接收由不同角度发射的穿过物体后衰减的射线,进行数据分析后建立物体影像,最终获取样品内部的结构信息。但由于CT系统的安装往往存在误差,对所建物体影像质量有所影响,因此成像时需对参数进行确定。

1.2提出问题获取接受信息后,由于探测器具有不同的旋转角度,180个角度下512个探测器接收信号所成的图像关系如何?模板接受信息与介质吸收率的数学转换模型是什么?对于均匀介质模板与非均匀介质模板之间模型的改进应该如何进行?基于CT系统的自身误差,应该怎样排除其不稳定性?本文就上述问题进行研究,分析确定了数据转换模型及其优化方向。

1.3研究的意义对CT系统参数的确定及其误差分析是为了挺高其精确性与稳定性,CT成像系统的应用与我们的日常生活息息相关,尤其是在医学、工业、地理勘察等专业具有很大影响力。因此,通过其成像原理对其研究,有利于制定更加合理有效的成像方案,从而实现标准化成像、扩大CT应用领域、改善人们生活条件等等目标。

1.4具体问题(1)问题一:根据已知模板及其接收信息与介质吸收率,计算发射-接收系统的旋转中心、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向;(2)问题二:根据问题一中所得参数,求解未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息并给出具体十个位置的吸收率;(3)问题三:根据问题一中所得参数,求解另一未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息并给出具体十个位置的吸收率;(4)问题四:分析问题一中参数的精度和稳定性,设计新模板,建立对应的标定模型,改进标定精度和稳定性,说明理由。

2问题的分析

2.1问题一的分析问题一要求根据已知模板及其接收信息与介质吸收率,计算发射-接收系统的旋转中心、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。考虑到不同角度下探测器所接收信号不同,可取X射线与椭圆长轴平行时的特殊情况,根据提供长度及探测器数量信息即可算出探测单元之间的间距;根据附件二不同角度情况下matlab所成图像中探测单元的间隔数比值与实物图形中长度比值相等,利用几何知识即可算出X射线的方向;假设旋转中心向探测板的投影位于弹射板中心,取X射线沿水平和数值两个方向的特例进行几何分析,分别过弹射板中心向弹射板做垂线L3和L5即确定旋转中心。

第3期黑龙江工业学院学报2018年第3期CT系统参数标定及成像2018年2.2问题二的分析问题二要求基于未知模板的接收信息,建立数学矩阵转换模型,用以获得未知模板在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。在问题一研究的基础上,本文从多方面着手,对图

像构建加以分析。分别建立矩阵转化模型,然后利用其间相互关系加以结合,最终构建出图像重建数学关系模型。

2.3问题三的分析同问题二

2.4问题四的分析问题四要求分析问题一中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型,改进标定精度和稳定性,说明理由。由于探测器为512个分散的点,得到的接收数据是离散的,存在系统误差。本文建立了新的模板,对系统的精度和稳定性进行了改进。本文的总体解题思路如图1所示。图1总体思路流程图3模型的假设

3.1假设求解过程中对应相切或重合射线正好被探测器所接收,忽略存在的离散点距离误差;

3.2假设旋转180次的角度均相等为定值;

3.3假设射线宽度为0;

3.4假设旋转中心正方形托盘内;

3.5假设一定有一条X射线穿过旋转中心;

3.6正方形托盘上数值为1的点为吸收点。当X射线通过1个吸收点后,探测器会接收到1,否则为0;

3.7旋转系统位于初始位置时不接收信号,当第一次旋转后才第一次接收信号;

3.8假设物体内部结构均匀。

4名词解释与符号说明

4.1名词解释

4.1.1信号强度衰减系数信号出入物体强度决定物体内部信息,衰减系数与信号入射强度和出射强度比值成指数关系。

4.1.2图像重建通过物体外部测量的数据,经数字处理获得物体形状信息的技术。

4.2符号说明

表1主要变量符号及意义

序号符号符号说明1D探测器单元间距2r圆半径3γ旋转系统初始位置射线与定义X轴方向夹角4η旋转系统结束位置射线与定义X轴方向夹角5β系统每次旋转角度6S探测器数量7N附件三矩阵8I射线出射强度9I0射线入射强度10μ强度衰减系数11l射线经过物体路径5模型的建立与求解

5.1二维CT成像原理分析根据题目背景,附件1是由256×256阶的零一矩阵所决定的图像信息,附件2可看为矩阵数值和维数叠加的结果,下面对射线与点之间关系进行分析:

5.1.1问题前提(1)旋转中心位于正方形托盘内。(2)一定有一条X射线穿过旋转中心,称为中心线。(3)正方形托盘上数值为1的点为吸收点。当X射线通过1个吸收点后,探测器会接收到1,否则为0。(4)θ0为初始角度,△θ为每一次的变化角度,d为相邻两条X射线间的距离。

5.1.2原理分析(1)首先从最简单最特殊的情况入手,假设只有一个吸收点,一条X射线。会出现以下4种情况:①一个吸收点且该吸收点为旋转中心,一条X射线且该射线为中心线。②一个任意吸收点,一条X射线且该射线为中心线。③一个吸收点且该吸收点为旋转中心,一条任意的X射线。④一个任意吸收点,一条任意的X射线。下面对4种情况作详细的解释。①一个吸收点且该吸收点为旋转中心,一条X射线且该射线为中心线。如图所示,无论X射线绕旋转中心如何旋转,X射线始终通过唯一的吸收点。因此,探测器所接收的信息,记为图

2ω=(1…1)(1×180)每转动一次便会接收到一个信息,转动180次便会接收到形如上式的行向量。②一个任意吸收点,一条X射线且该射线为中心线。为方便标记任一点的位置,以正方形边框的左下角顶点为原点,以水平方向为x轴,垂直方向为y轴建立直角坐标系。可记任一点坐标为(xt,yt),旋转中心的坐标为(x0,y0)。图3在射线l0转动过程中,会在某一时刻t与(xt,yt)相交。可解出lt的表达式lt:yt-y0=tan(θ0+t△θ)(xt-x0)可解出t的值。

t=arctanyt-y0xt-x0-θ0△θ便可得到行向量w=(0…1…0)中对应1的位置。③一个吸收点且该吸收点为旋转中心,一条任意的X射线。图4X射线与中心线的最小间距为d,这条X射线可表示为ln=l0+nd其中,-512�n�512。探测器接收到的信息为ω=(0…0)④一个任意吸收点,一条任意的X射线。设任一点与旋转中心间的距离为r=(xt-x0)2+(yt-y0)2图5由图可知,在旋转过程中,由于探测器行向量ω由r与nd长度关系,180△θ的大小等因素有关。故记ω=(a1,1…a1,t…a1,180)其中元素a1,t=1,且t可由t=arctanyt-y0xt-x0-θ0△θ求出(t的值可能有0或1或2个)。(2)讨论完一个吸收点,一条X射线的全部情况后,①在④的基础上增加吸收点的个数。根据点(x1,y1)以及④得:ω1=(a1,1…a1,t…a1,180由于两个点之间相互独立,可根据点(x2,y2)求得:ω2=(a2,1…a2,t…a2,180)图6将两点放在一张图上考虑,不难得出:

图7ω1+2=ω1+ω2

=(a1,1+a1,2…a1,t+a2,t…a1,180+a2,180)由数学归纳法可得,增加吸收点的个数,反映到接收器接受信息的变化即为独立的行向量ω的和。N个吸收点时,Wn=∑ni=1ωi②在④的基础上增加X射线的条数。根据l1以及④得ω1=(a1,1…a2,t…a1,180)又由于两条X射线相互独立,可根据l2求得v1=(a2,1…a2,t…a2,180)将两条线放在一张图上考虑得到,W两条线=ω1

v1N条线的情况可得到图8WN=ω1

v1

�(3)在讨论完(2)的2种情况后,考虑n个点,512条线的情况图9M512×180=WN

VN

�5.1.3数据处理模型建立矩阵:N512×180=n1,1···n1,180

···

·ni,j·

···

n512,1···n512,180取任一列向量记为:Ntj=(n1,j···ni,j···n512,j)T由Beer-Lambert定律X射线在穿过均匀材料的物质时,其强度的衰减率与强度本身成正比得:I=I0·е-μl[2]式中I为射线出射强度,I0为入射强度,l为射线经过物体路径,μ为物质对射线的衰减系数,由于附件3所提供未知介质内部是否均匀不确定,设:μ=μ1,1···μ1,256

···

·μi,j·

···

μ256,1···μ256,256则tj在时刻模板像素信息即为一个256×256的矩阵。由上述关系式转换后两边取对数可得:μltj=lnI0I分析可知Ntj与lnI0I成一定矩阵转化关系,可设旋转矩阵W与转换矩阵X,令μltj=(Ntj·W)X

B=Ntj·W则μltj=BjX

μlt1=B1X

μlt2=B2X

·

·

·

μlt180=B180X得出μl=BX

l=(lt1,lt2,…,l180B=(B1,B2,…,B180)可由问题一求得由于探测器成离散分布,本文从离散化角度,建立图像重建的数学模型。将平面图形离散化为无限小的正方形,称为像素。不同的像素对射线的衰减系数也不相同,假定各衰减系数为常数,此模型即为对穿过平面图形的射线出入强度进行测量,进而计算求出各像素的衰减系数。设有k个像素(m=1,2,…,k),p束射线(g=1,2,…,p),第g束射线记为Lg,由上述计算公式得:∑m∈M(Lg)μm△lm=lnI0Ig,g=1,2,…,p式中μm为像素m的衰减系数,△lm为射线穿过图形厚度,M(Lg)为射线穿过像素的集合由上述转化有lnI0I=BX,另设射线间宽度为D。当射线Lg经过像素m时记cgm=1,若不通过,记cgm=0(假定射线宽度为0)如下图所示例子可得具体矩阵图10C=001000000

110011001

100110011

000000110

100000000

010110100

001011010

000001001即可得Cμ=BX由此式即可重建图像。

6模型的评价与推广

6.1模型的评价

6.1.1优点(1)本文巧妙地使用流程图,展现了我们的完整建模思路;(2)本文利用matlab,EXCEL等软件对数据表格进行了处理,用图示的方法显示了出来,更加直观,简便;(3)本文从最基础的情况下对二维CT系统的成像原理进行分析,从单独的点到线到面层层分析,使原理得到剖析,方法独特,更加易懂;6.1.2缺点(1)问题一没有建立数学模型,采取特殊值法进行求解,存在一定误差;(2)对问题二三物体内部介质是否均匀没有考虑。

6.2模型的推广CT技术在经济、科技、军事、乃至社会发展等方面都有广泛的应用。常用来解决医学诊断、工业无损检测、地质检测、农产品无损检测等问题。随着科学技术的进一步发展,CT技术将向着多源、多排、多层方向发展,对扫描速度、覆盖范围、图像质量加以改善。同时,便携式CT也成为今后CT技术发展的方向。参考文献[1]赵飞,谢里阳,李佳,张子骞.二维CT系统周向运动误差的角坐标系模型[J].中国体视学与图像分析,2015,20(4):378-383.[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2011:187-191.[3]赵飞,谢里阳,李佳,张子骞.二维CT系统周向运动误差的角坐标系模型[J].中国体视学与图像分析,2015,20(4):378-383.[4]马存宝,周伟,张潇,左云谊.基于改进二维图像重建算法的工业CT系统[J].计算机工程,2007,33(17):219-233.

ParametersCalibrationandImageFormationofComputedTomographySystemPanYunlong,SuiLiyang,WuRunchen

(ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao,Shandong266590,China)Abstract:

WiththedevelopmentofComputedTomography,people’sdailylifehavebeenaffectedgreatly.BasedonCToftwodimensions,weoptimizetheimageformationmodel.2017ChinaUndergraduateMathematicalContestinModelingProblemA.Basedonthe2DCTsystem,theimagingprincipleisanalyzed,andtheerrorandaccuracyofthesystemareimprovedtooptimizetheimagingmodel.Keywords:computedtomographysystem;parameterscalibration;imageformation;idealizedmodel;matrixtransformationClassNo.:TP391.41DocumentMark:A

(责任编辑:蔡雪岚)

作者简介:张智超,硕士,助教,安徽科技学院。研究方向:灰色系统,预测与决策。

基金项目:2017年滁州市社科应用对策研究:China(No.A2017011);安徽科技学院人才引进项目“信息不对称下生鲜农产品供应链协调机制研究”。第18卷第3期2018年3月黑龙江工业学院学报JOURNALOFHEILONGJIANGUNIVERSITYOFTECHNOLOGYVol.18No.3Mar.2018文章编号:2096-3874(2018)03-0064-05

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