考试形式和试卷结构
考试科目：高等数学、线性代数
2015年数学二考研大纲
填空题6小题，每小题4分，共24分
解答题（包括证明题）9小题，共94分
单项选择题8小题，每小题4分，共32分
试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存 二、答题方式 线性代数约22% 高等教学约78% 四、试卷题型结构 三、试卷内容结构 答题方式为闭卷、笔试．
立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷
函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反
一、函数、极限、连续 一、试卷满分及考试时间
考试内容
质
，
考试要求
型．
限求极限的方法．
无穷小量求极限．
在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
6．掌握极限的性质及四则运算法则．
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．
5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类
函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性
质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
左极限、右极限之间的关系．
考试内容
二、一元函数微分学
分．
6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
勒（Taylor）定理，了解并会用柯西(Cauchy）中值定理．
法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用．
式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的
2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的
4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函
5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰
极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值
数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形
关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函
会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的
1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，
导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微
7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方
8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导
考试要求
弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径
数的导数．
考试要求
考试内容
三、一元函数积分学
水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．
9．了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用
3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．
基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-
Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函
2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值
4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．
5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．
数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及
6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面
原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和
引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．
曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、
多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区
定理，掌握换元积分法与分部积分法．
四、多元函数微积分学
考试内容
性质．
考试要求
极坐标）．
的应用问题．
念、基本性质和计算
1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．
2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的
3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏
导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．
求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概
域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的
4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条
乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单
件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日
5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、
考试要求
考试内容
五、常微分方程
齐次线性微分方程微分方程的简单应用
次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非
程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐
常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方
方程．
考试要求
考试内容
线性代数
数齐次线性微分方程．
3．会用降阶法解下列形式的微分方程：和．
7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．
4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理
2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分
5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系
6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等
矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转
积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
一、行列式
二、矩阵
考试内容
考试要求
三、向量
考试要求
考试内容
与方阵乘积的行列式的性质．
称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．
件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．
量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条
解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．
1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．
1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对
2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂
4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理
2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无
的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向
向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组
3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大
4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关
5．了解分块矩阵及其运算．
关的有关性质及判别法．
线性无关组及秩．
系．
考试要求
考试内容
对角矩阵
四、线性方程组
（Schmidt）方法．
1．会用克拉默法则．
的充分必要条件．
基础解系和通解的求法．
次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解
5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特
2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解
线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要
条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐
3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的
4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．
5．会用初等行变换求解线性方程组．
角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似
矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对
五、矩阵的特征值和特征向量
考试要求
考试内容
向量．
矩阵化为相似对角矩阵．
3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．
1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征
2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将
形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性
1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．
二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准
2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯
3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．
考试要求
考试内容
六、二次型
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