2021年高一(下)期末数学试卷

2021年高一（下）期末数学试卷

一、填空题

1．（3分）（xx•成都模拟）某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是 600 ．

考点： 专题： 分

频率分布直方图．

计算题；概率与统计．

根据频率分布直方图，算出成绩不低于70分的3个组的面积之和为0.6，

析： 从而得到成绩不低于70分的学生的频率为0.6，由此即可得到这1000名

学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数． 解

解：根据频率分布直方图，可得

成绩在70﹣80的小组的小矩形面积为S1=10×0.035=0.35；在80﹣90的小组的小矩形答： 面积为S2=10×0.015=0.15

在90﹣100的小组的小矩形面积为S3=10×0.010=0.10

∴成绩不低于70分的学生所在组的面积之和为S=S1+S2+S3=0.6

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即成绩不低于70分的学生的频率为0.6，由此可得

这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是1000×0.6=600 故答案为：600 点本题给出频率分布直方图，求1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的评： 学生数．着重考查了频率分布直方图的理解和频数的求法等知识，属于基础题． 2．（3分）已知向量，且∥，则tanx= ． 考平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系． 点： 专计算题． 题： 分根据题意，由向量平行的坐标表示可得cosx×1﹣sinx×2=0，化简可得cosx=2sinx，根析： 据同角三角函数的商数关系tanx=，计算可得答案． 解解：根据题意，∥，则有cosx×1﹣sinx×2=0， 答： 即cosx=2sinx，

则tanx==； 故答案为． 点本题考查向量平行的坐标表示，注意向量表示时必须在其上加带箭头的横线． 评： 3．（3分）（2011•安徽模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是 ﹣3＜a＜1 ． 考奇函数；函数单调性的性质． 点： 专计算题． 题： 分先判断函数f（x）=x2+2x（x≥0），是增函数．要求a的取值范围，先要列出关于a析： 的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系． 解解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0），是增函数， 答： 且f（0）=0，f（x）是奇函数

f（x）是R上的增函数． 由f（3﹣a2）＞f（2a）， 于是3﹣a2＞2a，

因此，解得﹣3＜a＜1． 故答案为：﹣3＜a＜1． 点本体属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能评： 力． 4．（3分）（xx•江西模拟）已知实数a≠0，给出下列命题： ①函数的图象关于直线对称；

②函数的图象可由g（x）=asin2x的图象向左平移个单位而得到；

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③把函数的图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，可以得到函数）的图象；

④若函数R）为偶函数，则．

其中正确命题的序号有 ②③④ ；（把你认为正确的命题的序号都填上）． 考命题的真假判断与应用；正弦函数的奇偶性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 点： 专计算题；综合题． 题： 分根据正弦曲线对称轴的公式，可得直线不是函数图象的对称轴，故①不正确；根据析： 函数图象平移的公式，可得②正确；根据函数y=Asin（ωx+φ）图象的变换公式，得

到③正确；根据正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式，可得④正确． 解解：对于①，因为时，的值是0，不是最值，故直线不是函数图象的对称轴，故①答： 不正确；

对于②，根据函数图象平移的公式，可得g（x）=asin2x的图象向左平移个单位得到g（x+）=，所以可由g（x）=asin2x的图象向左平移个单位而得到，故②正确； 对于③，根据函数y=Asin（ωx+φ）图象的变换公式，得函数的图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数）的图象，故③正确； 对于④，若函数R）为偶函数，则f（x）可以化简为acos2x或﹣acos2x，因此+∅=+kπ，解之得，故④正确． 故答案为：②③④ 点本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、正弦评： 函数的奇偶性和函数图象平移规律等概念，属于基础题．

5．（3分）已知向量 考点： 专题： 分析： 解答：

，则的最小值是 ．

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 空间向量及应用．

利用空间向量的模长公式求，然后利用函数的性质求最小组．

解：因为，，

点评： 6．（3分）有下列命题中假命题的序号是 ①④ ①x=0是函数y=x3的极值点；

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所以2=（1+t）2+（1﹣t）2+t2=3t2+2≥2， 所以，

即当t=0时，的最小值是． 故答案为：．

本题主要考查空间向量的向量坐标运算以及二次函数的最值问题．

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②三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是b2﹣3ac＞0；

③奇函数f（x）=mx3+（m﹣1）x2+48（m﹣2）x+n在区间（﹣4，4）上单调递减． ④若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为2． 考命题的真假判断与应用． 点： 专函数的性质及应用． 题： 分①用极值点的定义的来判断；②通过导数有不等根来判断；③用f（′x）＜0，x∈（﹣析： 4，4）恒成立来判断；④若双曲线的渐近线方程为，则或，可求离心率． 解解：①取导函数，可得y′=3x2≥0，∴函数在R上单调递增，∴函数无极值点，故是答： 假命题；

①求导函数，可得f′（x）=3ax2+2bx+c，∴三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值点的充要条件是导数有不等根，即4b2﹣12ac＞0，即b2﹣3ac＞0，故是真命题；

③∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=f（x），求得m=1，n=0，∴f′（x）=3x2﹣48＜0x∈（﹣4，4）恒成立

∴f（x）=mx3+（m﹣1）x2+48（m﹣2）x+n在区间（﹣4，4）上是单调减函数，故是真命题；

④若双曲线的渐近线方程为，则或，∴其离心率为2或，故是假命题． 故答案为①④ 点本题考查函数的极值与单调性，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的评： 能力，属于基础题． 7．（3分）如图，空间四边形ABCD中，若AD=4，BC=4，E、F分别为AB、CD中点，且EF=4，则AD与BC所成的角是 ．

考点： 专题： 分析：

异面直线及其所成的角． 计算题；空间位置关系与距离．

取AC中点G，连结EG、FG，根据三角形中位线定理得到EG∥BC且FG∥AD，∠EGF（或其补角）就是AD与BC所成的角．再在△EFG中算出

EF2=16=EG2+EG2，可得∠EGF=，即得AD与BC所成的角等于． 解解：取AC中点G，连结EG、FG

答： ∵EG、FG分别是△ABC、ACD的中位线

∴EG∥BC且FG∥AD，

可得∠EGF（或其补角）就是AD与BC所成的角 ∵△EFG中，EG=BC=2，FG=AD=2 ∴EF2=16=EG2+EG2，可得∠EGF=

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即AD与BC所成的角等于 故答案为：

点本题给出空间四边形形相对棱的长度，在已知对边中点连线长度的情况下求异面直评： 线所成角．着重考查了三角形中位线定理和异面直线的定义及其求法的知识，属于

中档题． 8．（3分）在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*），则a1+a2+a3+…+a51= 676 ． 考数列的求和． 点： 专计算题；等差数列与等比数列． 题： 分依题意，可求得a1=a3=a5=…=a51=1，{a2n}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而析： 可求得a1+a2+a3+…+a51的值． 解解：∵数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*）， 答： ∴a3﹣a1=0，

a5﹣a3=0， … a51﹣a49=0，

∴a1=a3=a5=…=a51=1；

由a4﹣a2=2，得a4=2+a2=4，同理可得a6=6，a8=8，…，a50=50； ∴a1+a2+a3+…+a51

=（a1+a3+a5+…+a51）+（a2+a4+…+a50） =26+ =676．

故答案为：676． 点本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定与求和，突出考查分组求和，属于评： 中档题．

9．（3分）（xx•济南二模）与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切的直线与x轴，y轴的正半轴交于A、B且|oA|＞2，|OB|＞2，则三角形AOB面积的最小值为 ． 考直线与圆的位置关系． 点： 专计算题．

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题： 分把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标和半径，设出A和B的坐标，利用A析： 和B的坐标写出直线AB的方程，因为直线AB与圆相切，利用点到直线的距离公式

表示出圆心到直线的距离d，并让d等于半径r，列出关于a和b的关系式，然后设a﹣2等于m大于0，b﹣2等于n大于0，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式求出面积的最小值即可． 解解：将圆C的方程化为标准式方程得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心C（1，1），半答： 径r=1

设A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0， 圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即=1，两边平方得2ab﹣2ab（b+a）+a2b2=a2+b2，

∵ab≠0，∴2﹣2（b+a）+ab=0，∴（a﹣2）﹣b﹣2a+4=2，∴（a﹣2）（b﹣2）=2； 由|oA|＞2，|OB|＞2，可设a﹣2=m＞0，b﹣2=n＞0，且mn=2， 所以S△AOB=ab=（m+2）（n+2）=（mn+2m+2n+4）≥（mn+2+4）=3+2，当且仅当m=n即a=b时取等号．

所以三角形AOB面积的最小值为3+2 故答案为：3+2 点此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化评： 简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题． 10．（3分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是 k=4或k＜0 ． 考根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质． 点： 专计算题；转化思想． 题： 分先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行析： 分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答

案． 解解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣答： 1，0）

当k＞0时，lgkx=2lg（x+1） ∴lgkx﹣2lg（x+1）=0

∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解 ∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解 令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1

又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0 ∴△=（k﹣2）2﹣4=0 ∴k﹣2=±2 ∴k=0舍，或4

k=0时lgkx无意义，舍去 ∴k=4

当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）

函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，

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0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意

故答案为：k=4或k＜0． 点本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及评： 其运算法则转化问题． 11．（3分）已知曲线C：（θ为参数）和直线：（为参数），则曲线C上的点到直线距离的最小值为 ． 考圆的参数方程；直线的参数方程． 点： 专直线与圆． 题： 分化圆的参数方程为普通方程，化直线的参数方程为一般方程，求出圆心到直线的距析： 离，减去圆的半径即可得到答案． 解解：由曲线C：，得圆的方程为（x+1）2+y2=1， 答： 所以圆心C（﹣1，0），半径为1．

由直线：，得直线的一般方程为． 圆心C到直线的距离d=．

所以，曲线C上的点到直线距离的最小值为． 故答案为． 点本题考查了圆的参数方程和直线的参数方程，考查了参数方程化普通方程，体现了评： 数形结合的解题思想方法，是基础题．

12．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为 cm3．

考点： 专题： 分析： 解答：

由三视图求面积、体积． 探究型；空间位置关系与距离．

由三视图确定该几何体的结构然后利用相应的体积公式进行求解．

解：由三视图可知该几何体是一个侧棱和底面垂直的四棱锥，其中以俯视图为底，底面为菱形．

其中高PD=1，底面菱形的对角线长为2，

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所以四棱锥的体积为． 故答案为：．

点本题主要考查三视图的识别以及几何体的体积公式．利用三视图进行还原是解决三评： 视图问题的基本方法． 13．（3分）已知﹣6≤x≤8，2≤y≤3，则x﹣y的范围是 [﹣9，6] ，的范围是 [﹣3，4] ． 考简单线性规划． 点： 专计算题；不等式的解法及应用． 题： 分根据不等式的性质，可得当x取最大值、y取最小值时，x﹣y有最大值；当x取最小析： 值、y取最大值时，x﹣y有最小值．由此可得x﹣y的范围，再分x的正负，用类似

的方法加以讨论，可求出的范围是[﹣3，4]． 解解：∵﹣6≤x≤8，2≤y≤3，

答： ∴当x=8且y=2时，x﹣y的最大值为6，

且当x=﹣6且y=3时，x﹣y的最小值为﹣9 因此，x﹣y的范围是[﹣9，6]； 由﹣6≤x≤8，2≤y≤3，可得

当0≤x≤8时，≥0，当x=8且y=2时，有最大值是4

当﹣6≤x＜0时，＜0，当x=﹣6且y=2时，有最小值是﹣3 ∴的范围是[﹣3，4]

故答案为：[﹣9，6]、[﹣3，4]

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点本题给出x、y满足的不等式，求x﹣y和的范围，着重考查了不等式的基本性质和变评： 量取值范围求法等知识，属于基础题． 14．（3分）（xx•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要 100 cm2的铁皮． 考棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 点： 专计算题． 题： 分由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=πrl，计算可得． 析： 解解：由题意可得圆锥的底面半径r=10， 答： 由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，

故圆锥的侧面积S=πrl==100， 故答案为： 点本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础评： 题．

二、解答题 15．（xx•重庆）设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性． 考导数的几何意义；函数单调性的判断与证明． 点： 分（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解． 析： （Ⅱ）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区

间． 解解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．

答： 由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），

所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即： 1﹣3a+3b=﹣11解得：a=1，b=﹣3． 3﹣6a+3b=﹣12

（Ⅱ）由a=1，b=﹣3得：f′（x）=3x2﹣6ax+3b=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3） 令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3； 又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．

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点评：

16．已知直线4x+3y﹣12=0截圆心在点C（1，1）的圆C所得弦长为． （1）求圆C的方程；

（2）求过点（﹣1，2）的圆C的切线方程． 考直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系． 点： 专直线与圆． 题： 分（1）设圆C的半径为R，求得圆心到直线4x+3y﹣12=0的距离为d==1，再利用弦析： 长公式求得半径R，从而求得圆C的方程．

（2）分所求切线斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径，分别求得圆C的切线方程． 解解：（1）设圆C的半径为R，圆心到直线4x+3y﹣12=0的距离为d，则有 d==1，， 答： 故圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．…（3分）

（2）当所求切线斜率不存在时，即 x=﹣1，满足圆心到直线的距离为2， 故x=﹣1为所求的圆C的切线．…（4分）

当切线的斜率存在时，可设方程为：y﹣2=k（x+1）即kx﹣y+k+2=0，则 d=． 解得，故切线为：，整理得：3x﹣4y+11=0．

所以所求圆的切线为：x=﹣1 与3x﹣4y+11=0．…（6分） 点本题主要考查利用待定系数法求圆的方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离评： 公式，弦长公式的应用，属于中档题．

17．选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线L的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为 （1）求曲线C的普通方程；

（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值． 考椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系． 点： 专计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 题： 分（1）把椭圆的参数方程右边的系数都化为1，然后直接平方作和即可得到答案； 析： （2）设出与已知直线平行的直线方程，和椭圆联立后由判别式等于0解出该直线方

程，然后由两平行线间的距离公式求出曲线上的动点到直线x﹣y+4=0的距离． 解解：（1）由曲线C的参数方程为， 答： 得，①2+②2得，；

（2）设与直线L平行的直线为x﹣y+m=0， 联立，得4x2+6mx+3m2﹣3=0，

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故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）是增函数， 当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数， 但当x∈（﹣1，3）时，f（x）是减函数．

考查导数的几何意义及利用导数求函数的单调区间．

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由△=36m2﹣16（3m2﹣3）=﹣12m2+48=0，得m=±2．

所以当m=2时，即直线x﹣y+2=0与椭圆相切时，椭圆上的动点为切点时到直线x﹣y+4=0的距离最小， 最小距离为d==． 点本题考查了椭圆的参数方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想评： 方法，属中档题．

18．一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．

考点： 专题： 分析： 解答：

由三视图求面积、体积． 计算题．

该空间几何体为一圆柱和一正四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1，高为2．四棱锥的底面对角线长为圆的直径为2，边长为，高为，分别计算体积，再相加即可． 解：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的， 圆柱的底面半径为1，高为2，体积为π×12×2=2π2 四棱锥的底面边长为，高为 体积为=

所以该几何体的体积为2π+ 点本题是基础题，考查三视图与几何体的关系，空间想象能力，逻辑思维能力，常考评： 题型．

19．已知函数f（x）=x3﹣3x．

（1）求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值；

（2）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程． 考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 点： 专计算题． 题： 分（1）先求出函数的导数，然后判断在要求区间内导数的正负情况，从而可得出最大析： 值与最小值．

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（2）根据导函数的定义可求出切线的斜率，然后根据点P的坐标可求出切线的方程． 解解：（1）f′（x）=3（x+1）（x﹣1），

答： 当x∈[﹣3，﹣1）或x∈（1，]时，f′（x）＞0，

∴[﹣3，﹣1]，[1，]为函数f（x）的单调增区间， 当x∈（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间，

又∵f（﹣3）=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣， 所以当x=﹣3时，f（x）min=﹣18， 当x=﹣1时，f（x）max=2．

（2）由于点P不在曲线上，故设切点为（x0，y0）则切线方程为：y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）①，

又点P（2，﹣6）在此切线上，以及y0=x03﹣3x0代入①解得x0=0 故此直线的斜率为﹣3

故可求得切线的方程为y=﹣3x． 点本题考查了利用导函数求区间上的最值问题，难度不大，关键是掌握导函数的定评： 义．

20．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求证：AE∥平面BFD．

考点： 专题： 分析：

直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 证明题．

（1）根据AD⊥平面ABE，AD∥BC可得BC⊥平面ABE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BC，根据BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，而BC∩BF=B，满足线面垂直的判定定理，从而证得结论； （2）依题意可知G是AC中点，根据BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，从而F是EC中点，根据中位线定理可知FG∥AE

又FG⊄平面BFD，AE⊄平面BFD，满足线面平行的判定定理的三个条件，从而得证． 解解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC

答： ∴BC⊥平面ABE，而AE⊂平面ABE则AE⊥BC（2分）

又∵BF⊥平面ACE，而AE⊂面ACE，则AE⊥BF，BC∩BF=B

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∴AE⊥平面BCE（5分）

（2）证明：依题意可知：G是AC中点（6分） ∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF， 而BC=BE

∴F是EC中点（9分） 在△AEC中，FG∥AE

又FG⊂平面BFD，AE⊄平面BFD ∴AE∥平面BFD（12分） 点本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定和线面垂直的性质，同时考评： 查了推理论证的能力，属于中档题．

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