四川省眉山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试
题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集 2，3，4， ，集合 ，则
A.
C. 2，
【答案】C
B.
D. 2，3，4，
【解析】解： 全集 2，3，4， ，集合 ， 2， ． 故选：C．
根据补集的定义求出M补集即可．
此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2. 计算：
A. 1
【答案】B
B. 2 C. 3 D. 4
【解析】解： ． 故选：B．
利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3. 已知角 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边
经过点 ，则 的值是
A.
【答案】D
B.
C. D.
【解析】解：角 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，
则 ，
故选：D．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值．
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本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4. 函数 是
A. 偶函数且最小正周期为 C. 偶函数且最小正周期为
【答案】A
【解析】解：由题意可得： ，
B. 奇函数且最小正周期为 D. 奇函数且最小正周期为
所以该函数图象关于y轴对称，属于偶函数，且周期为 故选：A．
．
先将函数运用二倍角公式化简为 的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．
本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法 一般都要把三角函数化简为 的形式再解题．
5. 设 0， ，1，2， ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有a的
值有
A. 1个
【答案】B
B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】解：当 时， 的定义域是 ，且为奇函数，不符合题意； 当 时，函数 的定义域是 且为偶函数，不符合题意； 当 时，函数 的定义域是 且为非奇非偶函数，不符合题意； 当 时，函数 的定义域是R且为奇函数，满足题意； 当 时，函数 的定义域是R且为偶函数，不符合题意； 当 时，函数 的定义域是R且为奇函数，满足题意； 满足题意的 的值为1，3． 故选：B．
分别验证 ，0， ，1，2，3知当 或 时，函数 的定义域是R且为奇函数．
本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．
6. 设集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是
A.
【答案】C
B.
D.
C.
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【解析】集合 ， ，因为 ，所以 ； 故选：C．
根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围． 此题考查了子集及其运算，属于简单题．
7. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的
A. 向左平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度
【答案】D
B. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【解析】解：由 ，
即把函数 的图象向右平移 个单位长度可得到函数 的图象， 故选：D．
由三角函数图象的平移可得：把函数 的图象向右平移 个单位长度可得到函数 的图象，得解．
本题考查了三角函数图象的平移，属简单题．
8. 函数 的部分图象如图，则 ， 可以取
的一组值是
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】解： ， ， ， 又由
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得 ． 故选：D．
由图象可知 ，可求出 ，再由最大值求出 ．
本题考查函数 的部分图象求解析式，由最值与平衡位置确定周期求 ，由最值点求 的方法．
9. 已知定义在R上的函数 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x f 1 2 3
那么函数 一定存在零点的区间是
A.
【答案】C
B. C. D.
【解析】解：由于 ， ，
根据函数零点的存在定理可知故函数f 在区间 内一定有零点，其他区间不好判断． 故选：C．
利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．
10. 设函数 ，则满足 的x的取值范围是
A.
【答案】A
B.
C.
D.
，或【解析】解： 函数 ，则由 可得 ．
解 可得 ，解 可得 ， 综合可得x的取值范围是 ， 故选：A．
由题意可得 ，或 ，分别求得 、 的解集，再取并集，即得所求．
本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的性质，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．
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11. 同时具有性质“周期为 ，图象关于直线 对称，在 上是增函数”的函数
是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解： 函数的周期
，不满足条件．
B.函数的周期 ，当 时， ，则函数关于 不对
称，不满足条件．
C.函数的周期 ，当 时， ，则函数关于 对称，
不满足条件．
D.函数的周期 ， ，当 时，该函数关于关于直线 对称，在 上是增函数，满足条件． 故选：D．
根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．
本题主要考查三角函数的性质，根据三角函数的周期性对称性和单调性的性质是解决本题的关键．
12. 已知奇函数 的定义域为 ，当 时， ，若函数
的零点恰有两个，则实数a的取值范围是
A.
【答案】A
B. C. D. 或
【解析】解： 是奇函数， 是奇函数， 恰好有两个零点，
在 上只有1个零点． 当 时， ， 在 上单调递增， ． 故选：A．
利用奇偶性可知 在 上只有1个零点，根据 在 上的单调性即可列出不等式，求出a的范围．
本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数 的定义域为______． 【答案】
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【解析】解：要使函数有意义，则 ，
即 ，
．
即函数 的定义域为 ． 故答案为： ．
根据函数的解析式，列出不等式组 ，求出解集即可．
本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．
14. 若 ，则 的值等于______． 【答案】6
【解析】解： ，
，
故答案为：6．
由于 ，将 化简为 ，问题解决了．
本题考查同角三角函数间的基本关系，将 化简为 是关键，属于基础题．
15. 设定义在R上的函数 的周期为 ，当 时， ，则
______．
【答案】 【解析】解：定义在R上的函数 的周期为 ， 则：
，
当 时， ， 故：
．
故答案为： ．
直接利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用．
16. 将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线
，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有 升，则m的值为______．
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【答案】5
【解析】解：5秒后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 满足 ， 即 ，得 ，
当k秒后甲桶中的水只有 升，即 ， 即 ， 即 ，
经过了 秒，即 ， 故答案为：5．
根据5秒后甲桶和乙桶的水量相等，得到n的值，由 建立关于k的方程，结合对数恒等式进行求解即可．
本题主要考查函数的应用问题，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键 本题的难点在于正确读懂题意．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知 ， ，求 以及 的值． 【答案】解： ， ， ， ，
；
．
【解析】利用同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式即可得出． 熟练掌握同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式是解题的关键．
18. 已知函数
求函数 的最小正周期和单调递减区间； 求函数 的最大值及取得最大值时x的取值集合．
【答案】解： ， 则函数的周期
，
由 即
， ，
， ，
即函数的单调递减区间为
， ．
当 时，函数 取得最大值 ，
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此时 ，即 ， ，
即函数 取得最大值是x的取值范围是 ．
【解析】 用三角函数的倍角公式斤先化简，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解
根据三角函数最值性质进行求解即可
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为 是解决本题的关键．
19. 科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度 单位：瓦 平方米 有关
在实际测量时，常用 单位：分贝 来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式： 是常数 ，其中 瓦 平方米 如风吹落叶沙沙
声的强度 瓦 平方米，它的强弱等级 分贝． 已知生活中几种声音的强度如表： 声音来源 声音大小 强度 瓦 平方米 强弱等级 分贝 求a和m的值
为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．
将 瓦 平方米，【答案】解： 瓦 平方米代入 ，
风吹落叶沙沙声 10 轻声耳语 m 很嘈杂的马路 90
得 ， 即 ，
．
由题意得 ，得 ， 得 ，即 ， 即 ，
答：此时声音强度I的最大值为 瓦 平方米．
【解析】 根据条件代入关系式，即可求出a和m的值； 解不等式 即可．
本题主要考查函数的应用问题，解对数的运算法则是解决本题的关键．
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20. 已知函数 ．
Ⅰ 若 ，求 的值；
Ⅱ 设函数 ，求函数 的值域．
Ⅰ ， 【答案】解：
，
Ⅱ
，
所以 的值域为： ． 【解析】 Ⅰ 利用两角差的正弦公式可得；
Ⅱ 利用二倍角、两角和的余弦公式、辅助角公式可得． 本题考查了三角函数的恒等变换应用 属中档题．
21. 已知二次函数 有两个零点0和 ，且 最小值是 ，函数 与 的图
象关于原点对称．
求 和 的解析式；
若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 【答案】解： 二次函数 有两个零点0和 ，
设 图象的对称轴是 ， ，即 ， ，
．
函数 的图象与 的图象关于原点对称， ．
由 得 ．
当 时， 满足在区间 上是增函数； 当 时， 图象对称轴是 则 ，
又 ，解得 ；
当 时，同理需 ，
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又 ，解得 ．
综上，满足条件的实数 的取值范围是 ．
【解析】 根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求 和 的解析式； 根据 在区间 上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数 的取值范围．
本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．
22. 已知函数 ， ．
若函数 为奇函数，求实数a的值；
设函数 ，且 ，已知 对任意的 恒成立，求a的取值范围．
【答案】解： 函数 为奇函数，定义域为R，关于原点对称， ，即 ， 化简得： ，即 ；
，
由 ，化简得， ， 设 ， ，则 ， 对任意的 恒成立，
对任意 ，不等式 恒成立．
注意到 ，分离参数得 对任意 恒成立． 设
， ，即 ．
， 可知 在 上单调递增， ． ．
故a的取值范围为 ．
【解析】 由函数 为奇函数，利用 列式即可求得 ； ，由 ，得 ，设 ， ，则 ，分离参数a，得到 对任意 恒成立，再由函数的单调性求得 在 上的最小值得答案．
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本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．
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