2021届高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数I第五节指数与指数函数学案理含解析.doc

[最新考纲] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. [考情分析] 指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是2021年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，分值为5分.

‖知识梳理‖

1．根式的性质

nn

(1)(a)n＝1a(a使a有意义)．

1.逻辑推理 2.数学抽象 3.数学运算 [核心素养] a，a≥0，

(2)当n是奇数时，an＝2a；当n是偶数时，an＝3|a|＝

4－a，a<0.n

n

2．分数指数幂的意义 (1)a＝5m

n

nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

m11(2)a－＝6m＝7(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

nnmana(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝8ars(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝9ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝10arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 4．指数函数的图象和性质

函数 a>1 图象 y＝ax(a>0且a≠1) 00时，y>1 ►常用结论 1－1，. (1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0，1)，a

(2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0(3)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0(4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位长度后，图象都在直线y＝a(或y＝－a)的上方．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． 4

(1)（π－4）4＝π－4.( )

nn(2)an与(a)n都等于a(n∈N*)．( ) (3)(－1)＝(－1)＝－1.( ) (4)函数y＝3·2x与y＝2x

＋1

当x<0时，y>1； 当x>0时，0412

都不是指数函数. ( )

(5)若am>an，则m>n.( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、走进教材

1

2，，则f(－1)＝( ) 2．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过3A．1 C．3 答案：C

B．2 D．3

3．(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( )

A．y＝a(1＋p%)x(01

4．计算[(－2)6]2－(－1)0的结果为( A．－9 C．－10

解析：选B 原式＝2

6×2

1

)

B．7 D．9

－1＝23－1＝7.故选B．

－

5．当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax2－3的图象必过定点________． 解析：令x－2＝0，则x＝2， 此时f(x)＝1－3＝－2，

故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)

6．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________． 解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数， ∴0考点 指数幂的运算

|题组突破|

301－2－21．求值：25＋2×24－(0.01)0.5.

1114112111162解：原式＝1＋×9－1002＝1＋×－＝1＋－＝. 4431061015

21

511－1－2－3233

2．化简：a×b×(－3a－b)÷(4a·b).

62

1

21

5－6－3－323

解：原式＝－ab÷(4a·b)

21－

25－6－3

＝－ab÷(a3b)

4

1

3

1

5－2－2

＝－ab

4

515ab＝－·＝－.

44ab2ab3

3

a3b2ab2

3．化简：111(a>0，b>0)． 1

（a4b2）4a－b3

3

12

1

13

解：原式＝

（a3b2a3b3）2112

aba－b3

3

＝a

11113+－1+1+－2－63332

b

a－

＝ab1＝.

b

►名师点津

考点一 指数函数图象及应用

【例1】 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )

(2)已知f(x)＝|2x－1|，当af(c)>f(b)，则必有( ) A．a<0，b<0，c<0 C．2a<2c

－

B．a<0，b>0，c>0 D．1<2a＋2c<2

[解析] (1)由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D；又当x＝0时，f(x)＝0，排除C．

(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示，因为af(c)>f(b)，所以必有a<0，0|2c－1|，所以1－2a>2c－1，则2a＋2c<2，且2a＋2c>1.故选D．

[答案] (1)A (2)D ►名师点津

有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

|跟踪训练|

1

1．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )

a

11

解析：选D 函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，所以A

aa11

项错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离

aa大于1，所以C项错误，D项正确．故选D．

1

2．(2019届唐山模拟)当x∈[1，2]时，函数y＝x2与y＝ax(a>0且a≠1)的图象有交点，

2则a的取值范围是( )

1A．2，2 1C．4，2

1

B．2，1∪(1，2] 1D．4，2

1

解析：选B 当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足×22≥a2，即

2111

1考点二 指数函数的性质及应用——多维探究

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)与指数函数有关的函数值域问题；(3)探究指数型函数的性质．

●命题角度一 比较指数式的大小

【例2】 (2019届大连模拟)设y1＝0.90.2，y2＝0.90.4，y3＝1.20.1，则( ) A．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3

B．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2

[解析] 对于y1＝0.90.2，y2＝0.90.4，y3＝1.20.1，∵y＝0.9x在R上是减函数，故有1>y1>y2. ∵y＝1.2x在R上是增函数，y3＝1.20.1>1.20＝1， ∴y3>y1>y2，故选B． [答案] B ►名师点津

比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．

●命题角度二 与指数函数有关的函数值域问题 【例3】 已知0≤x≤2，则y＝4

x－2

1

－3·2x＋5的最大值为________．

[解析] 令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，

1115

又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∵1≤t≤4，∴当t＝1时，ymax＝.

22225

[答案] 2►名师点津

形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0且a≠1)型函数的最值问题多用换元法求解，即令t＝ax转化为y

＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．

●命题角度三 探究指数型函数的性质

1－

【例4】 (1)若函数f(x)＝a|2x4|(a>0且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

9A．(－∞，2] C．[－2，＋∞) (2)已知函数f(x)＝2|2x

是________．

1|2x－4|11112[解析] (1)由f(1)＝，得a＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝3.由于y＝|2x

9933－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．

mm

，＋∞上单调递增，在区间－∞，上单调递(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间22m

减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，

2即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

[答案] (1)B (2)(－∞，4] ►名师点津

与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．

|跟踪训练|

3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．aB．a－m|

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]

(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围

解析：选C 因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b0，x≤0，4．(2019届福州模拟)设函数f(x)＝x则满足f(x2－2)>f(x)的x的取值范围是－x

2－2，x>0，

______________．

解析：由题意知，当x>0时，f(x)单调递增，故f(x)>f(0)＝0，而x≤0时，x＝0， 故由f(x2－2)>f(x)，则x2－2>x，且x2－2>0， 解得x>2或x<－2.

答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

考点 指数函数性质的创新应用

【例】 设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝

f（x），f（x）≤K，＋给出函数f(x)＝2x1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则K，f（x）>K.

( )

A．K的最大值为0 C．K的最大值为1

B．K的最小值为0 D．K的最小值为1

[解析] 根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D．

[答案] D ►名师点津

根据题目信息条件，将问题转化为指数函数最值问题求解．

|跟踪训练|

(2019届吉林长春外国语学校模拟)若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数f(x)的图象上；②点A，B关于坐标原点对称，则(A，B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，(A，x2＋2x，x<0，B)与(B，A)可看作同一个“姊妹点对”．已知函数f(x)＝2则f(x)的“姊妹点对”

，x≥0，xe有( )

A．0个 C．2个

B．1个 D．3个

解析：选C 依题意知，“姊妹点对”(A，B)满足：点A，B都在函数f(x)的图象上，且点A，B关于坐标原点对称．作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(图略)，看它22

与函数y＝x(x≥0)的图象的交点个数即可．当x＝1时，0ee点，即f(x)的“姊妹点对”有2个，故选C．