一、幂的运算易错压轴解答题 1．解答下列问题
（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值； （2）已知3m＝4，3n＝2，求 （3）若
，求
的值；
的值．
2．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3， log525＝2也可以变形为52＝25.在式子23＝8中， 3叫做以2为底8的对数，记为log2 8.一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则 叫做以a为底b的对数，记为logab ，即 logab＝n.根据上面的规定，请解决下列问题：
（1）计算：log3 1＝________， log2 32=________， log216+ log24 ＝ ________， （2）小明在计算log1025+log104 的时候，采用了以下方法： 设log1025=x， log104=y ∴ 10x=25 10y=4
∴ 10x+y=10x×10y=25×4=100=102 ∴ x+y=2
∴ log1025+log104=2通过以上计算，我们猜想logaM+ logaN等于多少，请证明你的猜想. 3．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个的等式，这个等式可以为________；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝32，x2+4y2+9z2＝45，求2xy﹣3xz﹣6yz的值． 4．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550-1617年）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若 ＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝
25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下： 设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,
∴M•N＝am•an＝am+n,由对数的定义得m+n＝loga（M•N） 又∵m+n＝logaM+logaN ∴loga（M•N）＝logaM+logaN 根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式________； （2）求证：loga ＝logaM－logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0), （3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________. 5．整式乘法和乘法公式 （1）计算：（﹣x）2（2y）3
（2）化简：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2
（3）如果（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，求下面式子的值：（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2
（4）课本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出的，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ， 则（a﹣b）3＝________. 6．计算： （1）（2）
=________．
=________．
7．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac=b，那么（a，b）=c． 例如：因为23=8，所以（2，8）=3． （1）根据上述规定，填空：
（3，27）=________，（5，1）=________，（2， ）=________．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ， 4n）=（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n ， 4n）=x，则（3n）x=4n ， 即（3x）n=4n 所以3x=4，即（3，4）=x， 所以（3n ， 4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20） 8．综合题
（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值； （2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．
9． 算一算，填一填.
（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）2
﹣
= ，由上述计算，我
们发现（ ）2________（ ）2
﹣
（2）仿照（1），请你通过计算，判断 与
之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）（4）计算：（ ）2 ．
﹣
﹣m
________
（ab≠0）．
10．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果 例如：因为23=8，所以(2，8)=3．
，那么(a，b)=c．
（1）根据上述规定，填空：（3，27）=________，（5，1）=________，（2， ）=________．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n ， 4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：
设（3n ， 4n）=x，则（3n）x=4n ， 即（3x）n=4n ， 所以3x=4，即（3，4）=x， 所以（3n ， 4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，4)+(3，5)=(3，20)
11．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an ， 如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算下列各对数的值：log24=________；log216=________；log264=________． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义说明上述结论．
12．在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
22×23=25 ， 23×24=27 ， 22×26=28…⇒2m×2n=2m+n…⇒am×an=am+n（m、n都是正整数）． 我们亦知：个数学关系式．
，
，
，
…
（1）请你根据上面的材料，用字母a、b、c归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、幂的运算易错压轴解答题
1．（1）解：∵2x＝3，2y＝5， ∴2x+y=2x×2y =3×5 =15
（2）解：∵3m＝4，3n＝2， ∴ = = =16÷8×3 =6
（3）解： =
解析： （1）解：∵2x＝3，2y＝5， ∴2x+y=2x×2y =3×5 =15
（2）解：∵3m＝4，3n＝2， ∴ = =16÷8×3 =6
=
（3）解： = = = ∵ ∴
， ，
∴原式=2×2+29=33．
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法、除法法则计算即可；（3）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则化简，再由
可得
，代入计算即可．
2．（1）0；5；6
（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N）， 证明：设logaM=x， logaN=y ∴ ax=M， ay=N ∴ ax+y=ax×a
解析： （1）0；5；6
（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N）， 证明：设logaM=x， logaN=y ∴ ax=M， ay=N ∴ ax+y=ax×ay=M·N ∴loga（M·N）= x+y
∴logaM+ logaN =x+y= loga（M·N） 【解析】【解答】解：（1）∵ 故答案为：0；5；6.
【分析】（1）根据题意，利用对数的逆运算计算即可；（2）设logaM=x， logaN=y，根据对数的定义可得ax=M， ay=N，然后根据同底数幂乘法的逆用可得ax+y=M·N，再将其写成对数的形式即可证出结论.
，
，
，
∴log3 1＝0，log2 32=5，log216+ log24 ＝4＋2=6
3．（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc
（2）解： ① ∵ a+b+c＝11， 则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121， a2+b2+c2 =121-2（a
解析： （1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc （2）解： ① ∵ a+b+c＝11， 则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，
a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45； ② 2x×4y÷8z＝32， 2x+2y-3z=25, ∴x+2y-3z=5，
则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25, 4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20, ∴ 2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.
【解析】【解答】解：（1）大正方体面积=（a+b+c）2, 大正方体面积=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc,
故这个等式为：（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）正方体面积可以用整体法和分割法求得，得出等式（a+b+c）2=a2+c2+b2 +2ab+2ac+2bc；
（2） ①把a+b+c＝11两边同时平方， 结合 ab+bc+ac＝38， 则可求出 a2+b2+c2的值 ； ②根据同底数幂相乘底数不变指数相加和同底数相除底数不变指数相除，再由已知的等式得到x+2y-3z=5，利用题（1）的等式，将两边同时平方，结合x2+4y2+9z2＝45， 即可得到2xy﹣3xz﹣6yz的值．
4．（1）4=log381（或log381=4）
（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an, ∴ MN ＝ aman ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga MN
解析： （1）4=log381（或log381=4）
（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an, ∴ ＝ ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga 又∵m－n＝logaM－logaN ∴loga ＝logaM－logaN （3）2
【解析】【解答】（1）由题意可得，指数式34=81写成对数式为：4=log381 ， 故答案为： 4=log381（或log381=4） 。
（3）解： log69+log68－log62 =log6(9×8÷2=log636=2.
）
【分析】（1）根据对数概念，即可将指数式改写成对数式；
（2） 设logaM＝m,logaN＝n,根据对数的定义可表示为指数式为:M＝am,N＝an, 然后代入 按同底数幂的除法法则算出结果，再根据题干中所给的对数定义及公式即可得出结论； （3） 根据公式loga（M•N）＝logaM+logaN 及 loga ＝logaM－logaN 的逆用即可即可将式子log69+log68－log62表示为log6(9×8÷2
），
从而根据对数定义算出答案。
5．（1）解：（﹣x）2（2y）3
＝x2•8y3 ＝8x2y3
（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2 ＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1 ＝a2+
解析： （1）解：（﹣x）2（2y）3 ＝x2•8y3 ＝8x2y3
（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2 ＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1 ＝a2+2a+1+2a2﹣2+a2﹣2a+1 ＝4a2
（3）解：（x+1）（x2+ax+b） ＝x3+ax2+bx+x2+ax+b ＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，
∵（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项， ∴
，得
，
当a＝﹣1，b＝1时， （a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2 ＝（﹣1+2×1）（﹣1+1）﹣2（﹣1+1）2 ＝1×0﹣2×02 ＝0﹣0 ＝0
（4）a3﹣3a2b+3ab2﹣b3
【解析】【解答】（4）∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ，
∴[a+（﹣c）]3＝a3+3a2•（﹣c）+3a•（﹣c）2+（﹣c）3＝a3﹣3a2c+3ac2﹣c3 ， ∴（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 ， 故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3.
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方即可解答本题；（2）根据完全平方公式和平方差公式即可解答本题；（3）根据（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值；（4）根据（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 ， 可以求得所求式子的结果.
6．（1）(x-y)5 （2）
【解析】【解答】（1）原式= = ； （2）原式= = ．
故答案为： ．
【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）将多
解析： （1）（2）
=
=
．
；
．
【解析】【解答】（1）原式= （2）原式= 故答案为：
【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可； （2）将多项式的每一项分别除以2x2即可.
7．（1）3；0；﹣2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20， ∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【
解析： （1）3；0；﹣2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20， ∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）． 【解析】【解答】解：（1）∵33=27， ∴（3，27）=3； ∵50=1， ∴（5，1）=0； ∵22= ，
﹣
∴（2， ）=﹣2； 故答案为：3，0，﹣2．
【分析】（1）根据定义的新运算，可得出对应的c的值。
（2）根据小明的新发现，利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求证。
8．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，
∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10
（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析
解析： （1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5， ∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10
（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则得到ax+y=ax•ay ， 从而可求得ax的值，然后代入求解即可；
（2）先求得102α和102β的值，然后依据同底数幂的乘法法则得到 102α+2β=（10α）2•（10β）2 ， 最后，将102α和102β的值代入求解即可.
9．（1）= （2）解： （3）=
（4）解：（ 715 ）﹣2=（ 157 ）2= 22549
【解析】【解答】解：（1）我们发现（ 23 ）2=（ 32 ）﹣2；故答案为：=；（3
解析： （1）= （2）解：
（3）=
（4）解：（ ）2=（ ）2=
﹣
﹣
【解析】【解答】解：（1）我们发现（ ）2=（ ）2；故答案为：=；（3）我们可以发
现：（ ）
﹣m
=
（ab≠0）．故答案为：=；
【分析】本题为观察总结规律题型，细心运算即可.
10．（1）3；0；-2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则 3x=4 ， 3y =5，∴ ，∴（3，20）=x+y ，
∴(3，4)+(3，5)=(3，20) 【解析】（1）∵33=27
解析： （1）3；0；-2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，则 （3，20）=x+y ， ∴(3，4)+(3，5)=(3，20)
【解析】（1）∵33=27，50=1，2-2= ，∴（3，27）=3，（5，1）=0，（2， ）=-2． 故答案依次为：3，0，-2
【分析】根据新定义的运算得到幂的运算规律，由幂的运算规律得到相等的等式.
， =5，∴
，∴
11．（1）2；4；6 （2）解：∵4×16=64， ∴log24+log216=log264
（3）解：logaM+logaN=logaMN （4）解：设M=am ， N=an ， ∵
解析： （1）2；4；6 （2）解：∵4×16=64， ∴log24+log216=log264 （3）解：logaM+logaN=logaMN （4）解：设M=am ， N=an ， ∵
=m， =m+n，
∴ ∴
+ +
= =
， =n，
【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log264=6， 故答案为：2；4；6；
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之
间满足的关系式为：log24+log216=log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M=am ， N=an ， 再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．
12．（1）解：根据上面的材料可得：ba 解析： （1）解：根据上面的材料可得：说明：∵﹣ = ﹣ = ． = = ， 又∵a＞b＞0，c＞0， ∴a+c＞0，b﹣a＜0， ∴ ＜0， ∴﹣即：＜ ＜0， 成立； （2）解：∵原来糖水中糖的质量分数= ， 加入k克糖后糖水中糖的质量分数+由（1）＜ 可得＜ ， ， 所以糖水更甜了． 【解析】【解答】（1）你根据上面的材料可得： 说明：∵ ﹣ = ﹣ = = ． = ， 又∵a＞b＞0，c＞0， ∴a+c＞0，b﹣a＜0， ∴ ＜0， ∴ ﹣ ＜0， 即： ＜ 成立； （2）∵原来糖水中糖的质量分数= ， 加入k克糖后糖水中糖的质量分数+ 由（1） ＜ 所以糖水更甜了． 【分析】（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0， ， ； （2）因为 量分数 ， 说明原来糖水中糖的质量分数 小于加入k克糖后糖水中糖的质 ， 所以糖水更甜了． ， ， …故a＞b＞0，c＞0，则 可得 ＜ ， ， 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容