D.年月份的居民消费价格全年最低10.已知为双曲线：点．若A.B.C.D.，且满足上一点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ）．，为曲线左右焦11.已知，，是球的球面上的三点，值为，则球的表面积为（ ）．A.B.C.D.，若三棱锥体积的最大12.双纽线最早于中，把到定点年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的有（ ）．①双纽线关于原点中心对称；②；的点有两个；．③双纽线上满足④A.①②B.①②④C.②③④D.①③的最大值为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设命题，，则为 ．3
14.已知函数，若，则 ．15.在面积为的平行四边形点，则中，的最小值为 ．，则 ，点是直线上的动16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为锤线之间的夹角在量角器上度数为米）．该小组在操场上选定点，此时测量视线和铅圈达到点，此时测量视，根据以上数据可计；推动自行车直线后退，轮子滚动了．测量者站立时的“眼高”为）线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为算得该建筑物的高度约为 米．（精确到参考数据：，．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知等比数列（1）求数列（2）设的前项和为的通项公式．，求数列，满足，，成等差数列，且．的前项和．18.如图，在四棱锥，点中，底面，分别是棱是矩形，，的中点．，，4
（1）求证：（2）若平面平面平面．，求直线与平面所成角的正弦值．19.已知椭圆（1）求椭圆的方程．（2）过坐标原点的直线与椭圆交于一点，连接，证明：的离心率为，且过点．，．两点，过点作圆的一条切线，交椭圆于另20.年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技佛山智造全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量（万元）的四组对照数据．（件）与相应的生产总成本工厂研究人员建立了与的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型①：模型②：；．其中模型①的残差（实际值预报值）图如图所示：残差（1）根据残差分析，判断哪一个模型更适宜作为关于的回归方程？并说明理由．5
（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布列为：结合你对（）的判断，当产量为何值时，月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到）？21.已知函数（1）若（2）若．恒成立，求的取值范围．，证明：在有唯一的极值点，且．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1题）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为的极坐标方程为（为参数），以坐标原点为极．点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1）说明（2）设点是哪种曲线，并将的极坐标为的方程化为极坐标方程．与的值．的异于极点的交点为，与的异于，射线，求极点的交点为，若23.已知函数（1）若（2）证明：，求实数的取值范围．，，．恒成立．【答案】1.B解析:∵，∴故选．或或，．6
2.A解析:∵∴，∴∴，．故选．3.D解析:的二项展开式通式为．令则令∴∴与系数之差为得，，.得，．故选．4.C解析:作出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线经过点时，取得最大值．7
5.D6.A解析:∵∴，，，∴故选：．7.C解析:∵点，在抛物线．，即，即，的导数化为（舍）或，．．，，故切线斜率，，．，．准线上，．，即准线方程：由得∴抛物线方程设由∴解得∴∴故选．8.A解析:第一次取出红色球概率为情况第二次取出黄球的概率，此时第二次取球时，盒中有个红球，个黄球，取出黄球概率为，若第一次取出黄色球概率为，故该情况第二次取出黄球的概率，故该，此时第二次取球时，有，∴所求概率个红球，个黄球，取出黄球概率为．故选．8
9.D10.C解析:在双曲线中，，∴∴在设∴∴∴故选．11.C解析:．，中，，则，，，，，∵∴当平面此时和面都是边长为的等边三角形，时，三棱锥体积最大，．解得：．．∴球的表面积故选．12.B解析:在曲线任取一点，则根据题意得，9即∴有整理得：在，，，，换成，方程不变，式中，同时将换成所以曲线关于原点对称，故①正确；在得∴满足在（）中，令解得由得通过极坐标与直角坐标互换，即，，．所以④正确．故选．13.解析:全称命题的否定为特称命题．∴命题则，，．，，，，，即中，由，，故②正确；的点都在轴上，，得，所以③错误；，，，14.解析:，令则，，，10∴∵∴为奇函数，，，．故答案为：．15.解析:设则则∴在，，中，由余弦定理可知：，，， ; ，∴，过点作，垂足为，设∴，则，，∴，当且仅当即，且同时成立时，等号成立．16.解析:11如图，设，因为，，，所以∴所以该建筑物的高度约为17.（1）（2）解析:（1）设数列所以得所以因为所以又因为所以（2）由得，，，得．．，，所以，，，米．．的公比为，依题意，得，，且，解得或，，，，则，，所以12．18.（1）证明见解析．（2）解析:（1）取的中点为，连接，，．又点又点则∴是是的中点，则的中点，底面且且，，是平行四边形，，又平面．交，且是矩形，，∴四边形∴∴，平面，平面（2）过点作则∴∴平面∵于点，作，交于点，连接，平面，又平面，，，平面，，∴，，，，∵平面∴∴取，平面，，的中点为，连接，则，，13以为坐标原点，分别以如图所示，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则所以设平面则由可取设直线则，，，，，，，，，，的一个法向量为，与平面所成角为，，所以直线19.（1）与平面所成角的正弦值为．．（2）证明见解析．解析:（1）设椭圆的半焦距为，由题设，可得，结合解得，，．的方程为，或，，，，，所以椭圆的方程为：（2）①当直线若直线则所以，，的斜率不存在时，依题意，可得直线，直线，，可得其他情况，由对称性，同理可得；14②当直线∵直线斜率存在时，设直线与圆，的距离为，则，消元，整理得，的方程为，∴圆心到直线设联立则∴，，即，，，，，∵，，∴∵∴综上可知成立．，，，20.（1）模型①更适宜作为关于的回归方程；证明见解析．（2）产量为解析:（1）模型②的残差数据如下表：件时，月利润的预报期望值最大，最大值是万元．模型②的残点图如图所示．15残差模型①更适宜作为关于的回归方程，因为：理由：模型①这个样本点的残差的绝对值都比模型②的小．理由：模型①这个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄．理由：模型①这个样本的残差点比模型②的残差点更贴近轴．（2）设月利润为，由题意知，则的分布列为：．设函，令当当则函数，解得时，时，的最大值或，则，则（舍），单调递增；单调递减．，即产量为万元．件时，，月利润的预报期望值最大，最大值是16
21.（1）（2）证明见解析．解析:（1）由解得以下证明，当为此先证：若若令可知故即故若则当故当由得故当综上，所求的取值范围是（2），令，，∵∴又是，，上的增函数，时，，时，，即，，．，，则，则，，，，得，，即．，，时，，，，，；，．时，．．，故存在唯一实数，使，17当当又则∴时，时，，，，，，，递减；递增，，，，故存在唯一实数使当当所以时，时，在区间，，，，有唯一极小值点，，，，递减；递增．，且极小值为又由得∴又，以下只需证明即证∵∴则所以．，，，，，22.（1）证明见解析；（2）．．18解析:（1）是圆心为可得即代入所以（2）设∵∴，，，，∵∴∵∴即所以23.（1）或，，，，则，．．，，半径为的圆，，的直角坐标方程为，，的极坐标方程为，，，得．，（2）证明见解析．解析:（1）∵当当当时，不等式化为时，不等式化为时，不等式化为或，即，解得．；，此时无解；，解得．恒成立．综上，原不等式的解集为（2）要证明对只需证明对即证明∵即，．，，恒成立，，，19∵所以原命题得证．，20
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