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2020-2021学年高中人教A版数学选修2-2课时素养评价 2.2.2 反证法

2020-10-29 来源:尚车旅游网


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课时素养评价

十八 反 证 法

(15分钟 30分)

1.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”,下列假设中正确的是 ( )

A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个是偶数 D.假设a,b,c至多有两个是偶数

【解析】选B.用反证法证明命题时,“a,b,c中至少有一个是偶数”的反设为假设a,b,c都不是偶数.

2.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是

( )

A.有两个内角是钝角 B.有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角

D.没有一个内角是钝角

【解析】选C.“最多只有一个”的否定是“至少有两个”,故选C. 3.设a,b,c都大于0,则三个数:a+,b+,c+的值 ( ) A.都大于2 B.至少有一个不大于2 C.都小于2 D.至少有一个不小于2

【解析】选D.假设a+,b+,c+三个数都小于2,则必有a++b++c+<6,而2

+2

+

+2

+

=

+

+

=6,故二者相矛盾,所以假设不成立.故

a+,b+,c+的值至少有一个不小于2.

4.将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)>0”反设,所得命题为“____________________”. 【解析】“至少存在一个”反面是“不存在”.

答案:函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上恒小于等于0 5.设a>0,b>0,且a2+b2=+.证明:a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 【证明】假设a2+a<2与b2+b<2同时成立, 则有a2+a+b2+b<4. 而由a2+b2=+得,a2b2=1, 因为a>0,b>0,所以ab=1.

因为a2+b2≥2ab=2(当且仅当a=b=1时等号成立), a+b≥2

=2(当且仅当a=b=1时等号成立),

=4(当且仅当a=b=1时等号成立),这与假设

所以a2+a+b2+b≥2ab+2矛盾,故假设错误.

所以a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.

(30分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.在用反证法证明命题“已知a,b,c∈(0,2),求证a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1”时,反证时假设正确的是 ( )

A.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都小于1 B.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都大于1 C.假设a(2-b),b(2-c),c(2-a)都不大于1 D.以上都不对

【解析】选B.根据反证法的概念可知,命题“已知a,b,c∈(0,2),求证a(2-b),b(2-c),c(2-a)不可能都大于1”,反证时假设应为“假设a(2-b), b(2-c),c(2-a)都大于1”.

2.甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1,2,3,4,5号房间,现已知: (1)甲与乙不是邻居; (2)乙的房号比丁小; (3)丙住的房是双数; (4)甲的房号比戊大3.

根据上述条件,丁住的房号是 ( )

A.2号 B.3号 C.4号 D.5号

【解析】选B.从条件(4)分析知戊只能住1号或2号.假设戊是1号,

则甲是4号,由(3)知丙是2号,乙只能与甲是邻居,与(1)矛盾;假设戊是2号,则甲是5号,由(3)知丙是4号,由(1)(2)知乙是1号,从而丁是3号.

3.设a,b,c均是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“P·Q·R>0”是“P,Q,R同时大于零”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.必要性显然成立.充分性:若P·Q·R>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个负的一个正的,不妨设P<0,Q<0,R>0.所以a+b4.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且a>b,n∈N*,那么两个数列中序号与数值均相等的项的个数有 ( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个

【解析】选A.假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得an=bn,由题意a>b,n∈N*,则恒有an>bn,从而an+2>bn+1恒成立,所以不存在n使得an=bn.

5.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在“好点”,那么a的取值范围是 ( ) A.

B.

C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【解析】选A.假设函数f(x)存在“好点”,即x2+2ax+1=x有解,所以x2+(2a-1)x+1=0.所以Δ=(2a-1)2-4≥0,解得a≤-或a≥. 所以f(x)不存在“好点”时,a∈二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于__________.

【解析】假设a,b,c都小于, 则a+b+c<1与a+b+c=1矛盾. 故a,b,c中至少有一个不小于. 答案:

7.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)·…·(a7-7)为偶数.

证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.

【解析】根据题目要求及解题步骤, 因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数, 所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数. 即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数. 又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列, 所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,

.

故(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0. 所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0. 答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)

8.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________.

【解析】假如甲:我没有偷是真的,则乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的;丁:我没有偷就是真的,与他们四人中只有一人说真话矛盾.

假如甲:我没有偷是假的,则丁:我没有偷就是真的,乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的,成立. 所以可以判断偷珠宝的人是甲. 答案:甲

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知直线m与直线a和b分别交于A,B,且a∥b.求证:过a,b,m有且只有一个平面.

【证明】如图所示,因为a∥b,

所以过a,b有一个平面α,又m∩a=A,m∩b=B, 所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.

又A∈m,B∈m,所以m⊂α.即过a,b,m有一个平面α. 假设过a,b,m还有一个平面β异于平面α,

则a⊂α,b⊂α,a⊂β,b⊂β,这与a∥b,过a,b有且只有一个平面相矛盾.

因此,过a,b,m有且只有一个平面.

10.用反证法证明:对于直线l:y=x+k,不存在这样的非零实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A,B关于直线y=-x对称.

【证明】假设存在非零实数k,使得A,B关于直线y=-x对称,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则线段AB的中点M2x2-2kx-1-k2=0. 所以x1+x2=k,可得M

.

在直线y=-x上,由

这与M在直线y=-x上矛盾.所以假设不成立, 故不存在非零实数k,使得A,B关于直线y=-x对称.

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=0,且00. (1)证明:是f(x)=0的一个根. (2)试比较与c的大小. (3)证明:-2【思路导引】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2,得出x1=c是f(x)=0的根,再根据根与系

数的关系,即可证明是f(x)=0的一个根.(2)利用反证法,假设0,得出f

>0,与已知条件矛盾,即可得出>c.(3)由f

=0,得

ac+b+1=0,所以b=-1-ac,又a>0,c>0,所以b<-1,再根据二次函数的图象与性质,即可证明.

【解析】(1)因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点, 所以f(x)=0有两个不等实根x1,x2, 因为f(c)=0,所以x1=c是f(x)=0的根, 又x1x2=,所以x2=

,

所以是f(x)=0的一个根. (2)假设0, 由00,知f又因为≠c,所以>c. (3)由f

=0,且c≠0得ac+b+1=0,

>0,与f

=0矛盾,所以≥c.

所以b=-1-ac, 又a>0,c>0,所以b<-1.

二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x=-=即-<,又a>0,所以b>-2,所以-2<

=x2=,

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