i-截面几何性质-习题答案

I−1 试求平面图形的形心位置。

[

y - O z (a)

解：由对称 zc0.3m yc 解：zc、

0.60.20.10.20.40.40.40.20.70.357m

0.60.20.20.40.40.2y z

(b)

— 0.30.10.150.10.40.050.093m

0.30.10.10.40.30.10.050.10.40.30.193m

0.30.10.10.4

ycI−2 试求平面图形的形心坐标。

\"

y

y=zn

O

l (c)

z 解：

lzczdz0ln0znzdzn1l n2nyc

·

lyydyl n2zdzlnn0ln0; r O

l (d)

z

解：由对称 zcr

2r32ryydy34r 0 ycr2r2322r22I−3 试求图示截面的阴影线面积对z轴的静矩。（图中C为截面形心）

—

： 80 20 C z 40 (a)

**3解：SzAyc40203024000mm

80 20 65 y 20 z C 80

**3解：SzAyc652032.542250mm

(

I−4 求以下截面对z轴的惯性矩。（z轴通过截面形心）

C z ）

d2 d1 解：Iz(a)

d1464d2464d14d2464

【

[

a2 C z a2 a1 (b)

44a14a2a14a2解：Iz121212

I−5 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的z轴的惯性矩。 解：

B b C y |

A z

h bh3y2 Izbdyy

04hhI−6 试求图示r=1m半圆形截面对于z轴的惯性矩。其中z轴与半圆形的底边平行，相距1m。

/

、

r O 解：

1m z z0 z1

1d41240.3927m4  Iz12642644r 由（I-2）知z1、 z0之间的距离yc

3所以由 Iz1Iz0Ayc 得 Iz0Iz1Ayc于是 IzIz0Aa0.1098·

22124140.39270.1098m

2322212241413.30m 3

I−7 在直径D=8a的圆截面中，开了一个2a×4a的矩形孔，如图所示。试求截面对

其水平形心轴的和竖直形心轴的惯性矩Iz和Iy。

,

2a 2a 2a yc

解：令圆截面的惯性矩为I1，矩形孔的惯性矩为I2

D 4a208a2a yc0.18928a 224a8aIzIz1Iz24a2a3D4224a0.18928a8a2a0.18928a2188.9a46412 IyIy1Iy22a4a190.3a4 6412D43I−8 正方形截面中开了一个直径d=100mm的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算截面对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩Iz和Iy。

￥

? 100 100 d yc

1002100 解：令正方形截面的惯性矩为I1，半圆形孔的惯性矩为I2 450832.31mm yc2100200282220048100450224IzIz1Iz22.3150122002.318983841.30710mm20002

200411004IyIy1Iy21.309108mm4

12264I−9 图示为由两个18a号槽钢组成的组合截面，如欲使此截面对两个对称轴的惯性

矩相等，问两根槽钢的间距a应为多少

解：查型钢表可知 Iz212702540cm4

?

y z O a 习题I−9图

Iy298.625.6991.88

a2 由 IzIy 得 a9.76cm

I−10 求图示截面的形心主轴的位置和形心主惯性矩。

:

yC C 80 120 10 zC z

:

解： zC yCIzC12010601070539.737mm

12010107012010510704519.737mm

12010107012010310703221.0032106mm4 1201014.737107025.2631212 IyC

10120370103222.7832106mm4 1201020.263107034.7371212IyCzC120106039.73719.7375107039.73754519.7379.7263105mm4 由 tan

Iz0IzCIyC211003200278320012(IzCIyC)24Iy(10032002783200)249726302zCC2222IyCzCIzCIyC29726301.093 得 20227.6，即 0113.8

100320027832003.21106mm4Iy0IzCIyC211003200278320012(IzCIyC)24Iy(10032002783200)249726302zCC2225.75105mm4

>

I−11 图示为一正方形截面，z、y为截面的两个对称轴，z1、y1为与z、y轴成α角的

一对正交轴。

（1）求截面对z1和y1轴的惯性矩Iz1和Iy1，并将Iz1、Iy1值与Iz、Iy值比较； （2）z1、y1轴是否为主轴由此可得出什么结论

a a y1 y α α z1 z 习题I−11图

解：

a4a4 Iz ，Iy ，Iyz0

1212则

Iz1Iy1IzIy2IzIy2IzIy2IzIy2cos2Iyzsin2a4 12a4 cos2Iyzsin212Iy1z1IzIy2sin2Iyzcos20

所以z1、y1轴也是主轴，又由于z1、y1轴过形心，因此此两轴为形心主轴。

由此可见，如果一个平面图形对两个直角坐标轴的惯性矩相等，并且此两轴为主轴，则转轴后的坐标轴也应该是主轴，并且惯性矩不变。

I−12 试证明：如果平面图形过一点有两对以上的主轴，则过该点的任一对正交轴都是主轴。

证明：

设两对主轴对应的转角分别为α1、α2，则有 Iy1z1 Iy2z2IzIy2IzIy2sin21Iyzcos210 sin22Iyzcos220

因此，有 IzIy 20

Iyz0 即有 IzIy 、Iyz0，由上题结论可知“如果平面图形过一点有两对以上的主轴，则过该点的任一对正交轴都是主轴。”、