泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用典型例题(总9页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--

泰勒公式及其应用

常用近似公式

，将复杂函数用简单

的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当

较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数希望

，想找多项式

来近似表示它。自然地，我们所具有的性态 —— 如：在某点的形式如何确定；。

近似

尽可能多地反映出函数

处的值与导数值；我们还关心所产生的误差【问题一】

设关于

在含

的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个

的 次多项式

2

近似

【问题二】

若问题一的解存在，其误差

的表达式是什么

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数

。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

3

于是， 所求的多项式为：

(2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数则当

在含有时，

的某个开区间可以表示成

内具有直到

阶导数，

这里是

与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

4

这表明：

只要对函数 复使用【证明】以

与为端点的区间

及

在与

之间反

次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

或

记为 ，

。

函数 且

函数 且

于是，对函数 有

及

在上具有直至 阶的导数，

在上有直至阶的非零导数，

在上反复使用 次柯西中值定理，

5

三、几个概念

1、

此式称为函数或者称之为函数当

按在点

的幂次展开到 阶的泰勒公式； 处的 阶泰勒展开式。

时， 泰勒公式变为

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。

为拉格朗日余项。

2、对固定的，若

6

有

此式可用作误差界的估计。

故 表明： 误差

是当

时较

高阶无穷小， 这一余项表

达式称之为皮亚诺余项。 3、若

，则在 与 之间，它表示成形式

，

泰勒公式有较简单的形式 —— 麦克劳林公式

近似公式

误差估计式

【例1】求

的麦克劳林公式。

7

解：

，

于是 有近似公式

其误差的界为 我们有函数(1)、

的一些近似表达式。

(2)、 (3)、

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求

的 阶麦克劳林公式。

解：

它们的值依次取四个数值 。

8

其中：

同样，我们也可给出曲线 它们的图象。

的近似曲线如下，并用matlab作出

【例3】求项。

的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余

解：

于是：

9

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限 解：

，

。

【注解】

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为

，从而

当

时，

，应为

的近似值， 并估计误差。

【例5】利用三阶泰勒公式求

解：

10

故：

11