已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=n^2,数列bn满足bn=1/【an*a(n+1...
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发布时间：2024-10-24 03:41
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时间：2024-11-08 14:00
1、a1=S1=1 ，
n>=2 时，an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1 ，
所以，an=2n-1(n∈N*) 。
由于 bn=1/[an*a(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)] ，
因此 Tn=1/2*[(1-1/3)+(1/3-1/5)+.....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]=1/2*[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1) 。
2、xTn<n+(-1)^n ，
则 x<2n+1+(2n+1)*(-1)^n/n ，
令 cn=2n+1+(2n+1)*(-1)^n/n ，则 c1=0 ，
且 c(n+1)-cn=2(n+1)+1+(2n+3)*(-1)^(n+1)/(n+1)-[2n+1+(2n+1)*(-1)^n/n]
=2+(-1)^n*[(2n+1)/n-(2n+3)/(n+1)]
=2+(-1)^n/[n(n+1)]>0 ，
因此 当 n=1 时 c1=0 最小，
所以 x<0 。
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时间：2024-11-08 13:55
1
｛an}前n项和Sn=n^2
n=1时，a1=S1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2n-1
当n=1时，上式也成立
∴an=2n-1
bn=1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=1/2[1-1/2+1/2-1/3+.......+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
2
xTn<n+(-1)^n恒成立
∵Tn>0
∴x<[n+(-1)^n]/Tn=(2n+1)[n+(-1)^n]/n
设cn=(2n+1)[n+(-1)^n]/n
当n为偶数时，
cn=(2n+1)(n+1)/n
=2n+1/n+3 >0
当n为奇数时
cn=(2n+1)(n-1)/n
=2n-1/n-1≥0
∴cn的最小值为0
∴x<0
