求下图中cosX/2cosX/4cosX/8...cosX/2ⁿ的极限

发布网友 发布时间：2024-10-24 02:30

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热心网友 时间：2024-11-02 09:38

解法如下：

y=cos（x/2）cos（x/4）....cos（x/2^n)

两边x2sin（x/2^n)

2ysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....cos（x/2^n)2sin（x/2^n)

2ysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....sin(x/2^(n-1))

x2:

2²ysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....sin(x/2^(n-2))

....

2^kysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....sin(x/2^(n-k))

k=n-1

2^(n-1)ysin（x/2^n)=cos（x/2）sin(x/2)

2^nysin（x/2^n)=sinx

当n很大时，sin(x/2^n)≈x/2^n

y≈sinx/x--->0

n=1

y=1/2

n=2

y=sinx/(4sin(x/4))

=2sin(x/2)cos(x/2)/(4sin(x/4))

=sin(x/4)cos(x/4)cos(x/2)/sin(x/4)

=cos(x/4)cos(x/2)

扩展资料：

性质

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

3、保号性：若  （或<0），则对任何  （a<0时则是  ），存在N>0，使n>N时有  （相应的xn<m）。

4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n>N时有  ，则  （若条件换为xn>yn ，结论不变）。

5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列  也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列  收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。单调收敛定理单调有界数列必收敛。

柯西收敛原理

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有  ，这样的数列  便称为柯西数列。

这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。

参考资料：百度百科——极限

热心网友 时间：2024-11-02 09:43

y=cos（x/2）cos（x/4）....cos（x/2^n)
两边x2sin（x/2^n)
2ysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....cos（x/2^n)2sin（x/2^n)
2ysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....sin(x/2^(n-1))
x2:
2²ysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....sin(x/2^(n-2))
....
2^kysin（x/2^n)=cos（x/2）cos（x/4）....sin(x/2^(n-k))
k=n-1
2^(n-1)ysin（x/2^n)=cos（x/2）sin(x/2)
2^nysin（x/2^n)=sinx
y=sinx/[2^nsin(x/2^n)]
当n很大时，sin(x/2^n)≈x/2^n
y≈sinx/x--->0
n=1
y=1/2
n=2
y=sinx/(4sin(x/4))
=2sin(x/2)cos(x/2)/(4sin(x/4))
=sin(x/4)cos(x/4)cos(x/2)/sin(x/4)
=cos(x/4)cos(x/2)

热心网友 时间：2024-11-02 09:46

汤家凤1800

热心网友 时间：2024-11-02 09:43

热心网友 时间：2024-11-02 09:41