...2x+2-k)ex,k∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)在区间[0,1]上的...
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发布时间：2024-10-24 03:24
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时间：2024-11-09 05:52
解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f'（x）=（2x-2）ex+（x2-2x+2-k）ex=（x2-k）ex．（3分）
当k＜0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数．
当k=0时，在区间（-∞，0）和（0，+∞）上f'（x）＞0，f'（0）=0，
函数f（x）在R上是增函数．（5分）
当k＞0时，解f'（x）＞0，得x＞k，或x＜-k．
解f'（x）＜0，得-k＜x＜k．
所以函数f（x）在区间(-∞，-k)和(k，+∞)上是增函数，
在区间(-k，k)上是减函数．
综上，当k≤0时，（-∞，+∞）是函数f（x）的单调增区间；
当k＞0时，(-∞，-k)和(k，+∞)是函数f（x）的单调递增区间，
(-k，k)是函数f（x）的单调递减区间．
（7分）
（Ⅱ）当k≤0时，函数f（x）在R上是增函数，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0），
依题意，f（0）=2-k=e，解得k=2-e，符合题意．（8分）
当k≥1，即k≥1时，函数f（x）在区间[0，1]上是减函数．
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1），
解f（1）=（1-k）e=e，得k=0，不符合题意．（9分）
当k＜1，即0＜k＜1时，
函数f（x）在区间[0，k]上是减函数，在区间[k，1]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f(k)，（10分）
解f(k)=(2-2k)ek=e，即(2-2k)=e1-k，
设h（t）=et-2t，t∈（0，1），（11分）
h'（t）=et-2，则在区间（0，ln2）上h'（t）＜0，
在区间（ln2，1）上h'（t）＞0，
所以h（t）在区间（0，1）上的最小值为h（ln2），（12分）
又h（ln2）=eln2-2ln2=2-2ln2＞0，（13分）
所以et-2t=0在区间（0，1）上无解，
所以(2-2k)=e1-k在区间（0，1）上无解，（14分）
综上，k=2-e．
