设函数f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内可导f(a)=f(b)=1,证存在m,n属于(a...
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发布时间：2024-10-24 14:57
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时间：2024-11-16 03:56
由柯西中值定理
构造函数g(x)=e^xf(x)，h(x)=e^(2x)
[g(a)-g(b)]/[h(a)-h(b)]
=[e^af(a)-e^bf(b)]/[e^(2a)-e^(2b)]=e^n[f(n)+f'(n)]/2e^(2n)
存在a<n<b使得上式成立
所以2/(e^a+e^b)=e^(-n)[f(n)+f'(n)]
令e^m=(e^a+e^b)/2
m=ln(e^a+e^b)-ln2
又2e^a<e^a+e^b<2e^b
所以a<ln(e^a+e^b)-ln2<b
所以a<m<b
所以存在m,n∈(a,b)使得[e^(m-n)][f(n)+f '(n)]=1
