马鞍山二十二中2015

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

x1． 已知集合A{x0log2x2}，B{yy32,xR}，则AB等于( )

A．{x2x4}B．{x1x4}C．{x1x2}D．{xx4}

z2．如图，在复平面内，若复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB，则复数1所对应的点位于

z2y( )

A．第一象限 C．第三象限

3.下列命题中，假命题的是（ ） ．．．

A．x0R,sinx03cosx02 B．x[0,),exx0 C．x0(0,),lgx01D．x(,0),2x23x20

y2x24．若双曲线1与抛物线x212y有相同的焦点，则k的值为（）

5kA．4 B．4 C．2 D．2

AB．第二象限 D．第四象限

OBx5. 已知向量a(2,1)，b(x1,2)，若a//b，则a+b( ) A．5 B．2 C．1D．32

6．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是( )

A. 99 B. 100 C. 120 D. 142 7. 设a0，若关于x的不等式x则a的最小值为（ ）

A．16 B．9 C．4 D．2

8. 在等差数列{an}中,已知a183(4a2),则该数列的前11项和S11等于( )

A.33 B.44 C.55 D.66

a5在(1，＋∞)上恒成立，x1

1 x2y29．若双曲线221(a0,b0)与直线y2x无交点，则离心率e的取值范围是（ ）

abA．(1,2)

B．(1,2]

C．(1,5) D． (1,5]

10. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是( )

A.

6 B.1 2 C.

26D. 240x3表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点11．设不等式组0y1的距离小于2的概率是（ ） A.3323 C.

B.

61833 D. 

41212．若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：

①f(x)12x； ②f(x)2； ③f(x)lg(x2)； ④f(x)cosx． x其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(1)p，则P(10). 14．已知a20asinxdx，则二项式x2的展开式中x的系数为．

x515. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥

OABCD的体积为。

16．设数列an的前n项和为Sn，且a1a21，nSn(n2)an为等差数列，

则数列an的通项公式an．

2

三、解答题（共6个大题，满分70分） 17．(本小题满分12分)

如图所示，在四边形ABCD中，D=2B，且AD1，CD3，cosB（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC23，求AB的长．

18．(本小题满分12分)

为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：

男生 女生 总计 优秀 40 20 60 非优秀 20 30 50 总计 60 50 110 3． 3ADBC（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；

（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为

2，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量3X表示这3人中通过预选赛的人数，求X的分布列与数学期望.

附:K＝

2n(adbc)2

(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2k) k

0.500 0.455 0.400 0.708 0.100 2.706 0.010 6.635 0.001 10.828

3 19．(本小题满分12分)

0如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，B90，D为

棱BB1上一点，且面DA1C⊥面AA1C1C.（Ⅰ）求证：D为棱BB1中点；

B1

（Ⅱ）

AA10为何值时，二面角AA1DC的平面角为60ABA1

D

C1

20．（本小题满分12分）

A

B

AC

x2y2已知中心在原点的椭圆C:221(a0,b0)的一个焦点为F1(3,0)，

ab点M(4,y)(y0)为椭圆上一点，MOF1的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为

直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由。

4 3． 221．（本小题满分12分）

已知函数f(x)lnxax2bx(x0,aR,bR)，

（Ⅰ）若曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为x2y20，求f(x)的极值； （Ⅱ）若b1，是否存在aR，使f(x)的极值大于零？若存在，求出a的取值范围；

若不存在，请说明理由；

22．(本小题满分10分)

选修4-1：几何证明选讲

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M． （Ⅰ）求证：O、B、D、E四点共圆； （Ⅱ）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．

23．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

x1tcosl已知直线：（t为参数，为l的倾斜角），以坐标原点为极点,x轴的正

ytsin半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：26cos50. （Ⅰ）若直线l与曲线C相切，求的值；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点的直角坐标为(x,y)，求xy的取值范围.

24．(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲

已知ab1，对a,b(0,)，

142x1x1恒成立， ab14＋的最小值； ab（Ⅱ）求x的取值范围。

（Ⅰ）求

5 马鞍山二十二中2015-2016学年第一学期高三期末模考

数学试题（理科）参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1． A 2．B 3. D4. B 5.A 6．C 7. C 8. A 9.D10．D 11. A 12.B 12．【解析】对于①，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则

111所以x01x0x02x010(x00,且x01)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，

若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则2x012x02，解得x01，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x0，满足f(x01)f(x0)f(1)，则

2222lg(x1)2lg(x2)lg(12)2x2x030，显然该方程无实根，，化简得000因此不是“1的饱和函数”；对于④，注意到f4111cos,

3231111ff(1)coscos，即f(1)f()f(1)，因此是“1的饱和函数”，综

33323上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．

1n1p 14．640； 15.VOABCD623283.16.ann1

32216.【解析】当n1时，nSn(n2)anS13a14；

当n2时，nSn(n2)an2S24a22(a1a2)48，所以数列nSn(n2)an是4为公差的等差数列，以4为首项，所以nSn(n2)an4n即Sn(n2)an4①，当n2n时Sn1an(n1)an4 ②，①-②得并整理得：n，

an12(n1)n1an1n1a22所以有，…，， an22(n2)a121

6 所以ananan1ann12n2a11n1， an1an2a12(n1)2(n2)212当n1时，适合此式，所以ann． 2n1

三、解答题（共6个大题，满分70分） 17．解：（Ⅰ）cosDcos2B2cosB121 ………………………（2分） 3因为D0,，所以sinD22，…………………………（4分） 3所以△ACD的面积S1ADCDsinD2．………………（6分） 2（Ⅱ）解法一：在△ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosD12， 所以AC23．……………………………………………………（8分）

在△ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosB12……………（10分） 把已知条件代入并化简得：AB24AB0因为AB0，所以AB4 ……（12分） 解法二：在△ACD中，在△ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosD12， 所以AC23．…………………………………………………………（8分） 因为BC23，

23ABACAB，所以 ，………（10分）

sinBsinACBsinBsin2B得AB4．…………………………………………………………………………（12分）

110(40302020)2K27.822K27.8226.635 18． (I) K605060502有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.

21212 (II)X的可能取值为0,1,2,3 P(X0)(1)31P(X1)C3()()32733912428

P(X2)C32()()2P(X3)()3339327

7 X P 0 1 2 3 1 272 94 98 27E(X)2

19．解：（1）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF。 ∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C

∴直线DE⊥面AA1C1C…3分又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC， ∴BF⊥面AA1C1C 由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，

又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，

11所以DB ＝ EF ＝ AA1 ＝ BB1，所以D点为棱BB1的中点； ………6分 22(2)建立如图所示的直角坐标系，设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝a，则D（0,0,b）,

Z A1 (a,0,2b), C (0,a,0)所以，DA1(a,0,b),DC(0,a,b)……8分 B1 设面DA1C的法向量为n(x,y,z)

ax0ybz0,则 可取n(b,b,a)

0xaybz0又可取平面AA1DB的法向量 mBC(0,a,0)

A1 D BO C1 b∴cos〈n,m〉nmb0baa0 x 2b2a2a22b2a2nm10分，据题意有：

20. 解：（1）SMOF1C A y

b2b2a2AA12b1，解得： ＝2…12分 2ABa333y 得y1 ………………（1分）

222

① …………………（2分）

M在椭圆上，16121 2abF1是椭圆的焦点 a2b29 ② ………………………（3分）

由①②解得：a218,b29 …………………………………（4分）

x2y2椭圆的方程为1. …………………………………………（5分）

189

8 （2）OM的斜率k11，设l的方程为yxm，……………（6分） 441yxm4联立方程组2整理得9y216my8m290. 2xy1189△16m498m90，解得m229292,………（7分） 4416m8m29设A、B两点的坐标为(x1,y1)(x2,y2)，则y1y2,y1y2.………（8分）

99以AB为直径的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0. 该圆经过原点 x1x2y1y20.

x1x2(4y14m)(4y24m)16y1y216m(y1y2)16m2 x1x2y1y216y1y216m(y1y2)16m2y1y2

17(8m29)162m217y1y216m(y1y2)16m16m20

99210292,92…………………………………（11分） 解得m444经检验，所求l的方程为y1102 …………………………（12分） x44（备注：若消去的变量为y，按对应给分点给分即可）

12axb，f'(1)12ab-----1分 x11又由切线方程可知，f(1) ，斜率k，

2221.解：（Ⅰ）依题意，f'(x)1f'(1)12ab,a0,x2f(x)lnx所以解得，所以-----4分 112bf(1)ab22所以f'(x)

112x(x0)， x22x9 当x0时，x,f'(x),f(x)的变化如下：

x (0,2) 2 0 (2,) f'(x)  f(x) ↗  极大值 ↘ 所以f(x)极大值f(2)ln21，无极小值.-----6分

12ax2x1(x0) （Ⅱ）依题意，f(x)lnxaxx，所以f'(x)2ax1xx2①当a0时，f'(x)0在(0,)上恒成立，故无极值；----7分

x②当a0时，令f'(x)0，得2a不妨设x10,x20，则f'(x)围.-----8分

218a0，x10，则且两根之积x1x210，2a2a(xx1)(xx2)，即求使f(x2)0的实数a的取值范

x2x212ax2x210,lnx0，----9分 由方程组消去参数a后，得222lnx2ax2x20构造函数g(x)lnxx111，则g'(x)0，所以g(x)在(0,)上单调递增， 2x2又g(1)0，所以g(x)0解得x1，即x2118a1，解得1a0.

4a由①②可得，a的范围是1a0.------12分

22.(本小题满分10分) 【解答】解：（1）连接BE、OE，则 ∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC， 又∵D是BC的中点，

∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD． 又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB． 可得∠OED=∠OBD=90°，

因此，O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H，

∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．

可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH． ∵OH=

，OD为△ABC的中位线，得DO=

，

10 ∴

，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．

23.选修4—4：坐标系与参数方程

24.选修4-5：不等式选讲

1414b4a()(ab)59， ababab1214b4a当且仅当，即a，b时，取最小值9．

33abab14（Ⅱ）因为对a,b(0,)，使2x1x1恒成立，

ab解析：（Ⅰ）∵a0,b0且ab1， ∴

11 所以2x1x19， 4分

当x1时，不等式化为2x9， 解得7x1；

11时，不等式化为3x9，解得1x； 2211当x时，不等式化为x29， 解得x11；∴x的取值范围为7x11.

22当1x

12