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正余弦定理的题型归纳

来源:尚车旅游网


卓越个性化教案 GFJW0901

学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时 课 题 教学目标 重 点 难 点 作业 正弦定理 余弦定理 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理;并能解决一些简单的三角形度量问题 掌握正弦定理、余弦定理及其推论,并能应用它们解三角形以及解决三角形的有关应用问题. 已知边角,对解的个数的判断;正余弦的综合运用;解三角形的应用. 课后作业 一、 作业评讲及上节知识点回顾 二、 教学过程

1. 课前小测

2. 知识点讲解

1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、、C的对边,R为C的外接圆的半径,则有

abc2R. sinsinsinCabc,sin,sinC;

2R2R2R2、正弦定理的推论:①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC;

②sin③a:b:csin:sin:sinC; ④

abcabc. sinsinsinCsinsinsinC3、余弦定理:在C中,有:a2b2c22bccos,

b2a2c22accos, c2a2b22abcosC.

b2c2a2a2b2c2a2c2b24、余弦定理的推论:cos,cos,cosC.

2bc2ab2ac5、三角形面积公式:①SC ②SABC内切圆半径; ③SABC111bcsinabsinCacsin; 222p(pa)(pb)(pc)pr,其中pabc,R为外接圆半径. 4Rabc,r为2 卓越个性化教学讲义

6、解△ABC 中,注意解可能有多种情况,abABsinAsinB 7、已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则 图形 关系 式 解的 个数 a<bsin A a=bsin A a>b a≤b A为锐角 A为钝角或直角 bsin A<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 一解 无解

3. 例题精讲&变式练习

题型一、 运用正弦定理解三角形

例题1:在△ABC中,a=23,b=6,A=30°,解三角形.

变式1:在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=60°,a=3,b=1,则c等于( )

A.1 B.2 C.3-1 D.3 变式2:在△ABC中,已知a=22,A=30°,B=45°,解三角形.

规律小结:对于已知两边及其中一边的对角,或者已知两个角以及任意一边的情况下,套用正弦定理,可以直接求出对应的角或边.

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题型二、运用余弦定理解三角形

例题2:在ABC中,已知a23,c62,B=45°,求b及A

变式1:在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,C=60°,求边c.

变式2:已知三角形ABC的三边长为a=3,b=4,c=37,求△ABC的最大内角.

规律小结:在已知两边及夹角可利用余弦定理求出第三边;在已知三边的情况下,可利用余弦定理求出任意边所对的角。 题型三、三角形形状判断

例题3:在ABC中,若B60,2bac,试判断ABC形状

变式1:在ABC中,已知sinBsinCcos2A,则ABC为 三角形. 2变式2:在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,试判断三角形的形状.

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变式3:在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=2sin Bcos C,试确定△ABC的形状.

规律小结:判断三角形形状的题型中,常常只给出三边的关系,或者正余弦之间的关系式,那么,在做这类题型时,常常要将题目中的所有角度利用正余弦全部转化为边的关系,进而化简得到特殊关系;或者将所有的边利用正弦定理转化为角度的关系,再利用三角恒等公式或者辅助角公式进行变换,最后得到特殊角,进而求解.

题型四、面积问题

例题4:在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且(1)求角B的大小;

(2)若b=13,a+c=4,求△ABC的面积.

变式1:在△ABC中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为 . 变式2:在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=(1)若△ABC的面积等于3,求a、b的值; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.

. 3cosBb=-.

cosC2ac4

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题型五、证明恒等式

例题5:在△ABC中,角A、B、C对边的边长分别是a、b、c,p圆半径。证明:SABC

变式1:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知

abc,r为内切2p(pa)(pb)(pc)pr

A

,bsin(C)csin(B)a求证: BC

2444。

题型六、与向量综合

例题6:已知A、B、C为ABC的三内角,且其对边分别为a、b、c.若向量m(cos2A,2cosAA1),向量n(1,cos1),且2mn1. 22(1)求A的值; (2)若a23,三角形面积S3,求bc的值.

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三、方法与技巧总结

1、已知两角A、B,一边a,由A+B+C=π及

abc,可求角C,再求b、c; sinAsinBsinC2、已知两边b、c与其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,求出a,再由余弦定理,求出角B、C;

3、已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C;

ab,求出另一边b的对角sinAsinBacabB,由C=π-(A+B),求出c,再由求出C,而通过求B时,可sinAsinCsinAsinB4、已知两边a、b及其中一边的对角A,由正弦定理能出一解,两解或无解。

四、课后作业

1. 在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 三角形. 2. 在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则3. 在△ABC中,BC=2,B=

sinB的值为 . sinC3,若△ABC的面积为,则tanC为 . 324. 在△ABC中,a2-c2+b2=ab,则C= .

5. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=7,c=3,则B= . 6. 某人向正东方向走了x千米,他右转150°,然后朝新方向走了3千米,结果他离出发点

恰好3千米,那么x的值是 .

7. 已知△ABC三边满足a2+b2=c2-3ab,则此三角形的最大内角为________. 8. 已知a、b、c是△ABC的三边长,关于x的方程ax2-2c2b2 x-b=0 (a>c>b)的两根之

差的平方等于4,△ABC的面积S=103,c=7. (1)求角C;

(2)求a,b的值.

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9. 在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,试判断△ABC的形状.

10. △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2 A=2a. b(1)求;

a

(2)若c2=b2+3a2,求B.

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