题型一:已知两边及一边对角且角为锐角时需讨论
(1)满足A=45°,a=2,c=6的△ABC的个数为________.
练习:(1)a=4,b=5,A=30(两解);(2)a=5,b=4,A=60(一解)
00方法汇总:方法一:大边对大角;
方法二:利用高h=bsinA与a的讨论 方法三:利用余弦讨论
题型二:利用正弦定理解三角形 例一:在△ABC中,若B=45,b
变式一:在△ABC中,若c=2,A=120,a=23,则B=
变式二:在△ABC中,A,B,C的对边为a,b,c,a=2,b=2,sinB+cosB=2,则A的大小为
变式三:在△ABC中,A,B,C的对边为a,b,c, B=(1)求sinC;(2)求△ABC面积。
变式四:在△ABC中,A,B,C的对边为a,b,c,A=2B,sinB=求边a,c的长。
1
002a,则C=
4,cosA=,b=3 353,(1)求cosA的值;(2)b=2,3题型三:利用正余弦定理进行边角转化 例:在△ABC中,若A=2B,则
变式一:在△ABC中,B=60,AC=3,则AB+2BC的最大值
变式二:(新课标)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边c=3asinC-ccosA.(1)求角A的大小; (2)若a=2, △ABC的面积为3,求b,c.
题型四:利用余弦定理解三角形 例:在△ABC中,b=1,c=3,C=
变式一:在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-
变式二:(12辽宁)在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,asinAsinBbcosA(1)求
20a的取值范围为 b2,则a= 31,则b= 42a,
b222;(2)若3abc求B。 a
题型五:利用余弦定理进行边角转化
例1:在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若(a2c2b2)tanB3ac,则角B的值为( )
例2、在ABC中,三边a,b,c与面积s的关系式为s32(ab2c2),则角4C 为
A 30 B 45 C 60 D 90
2
变式一:在△ABC
中,角A,B,C的对边为a,b,c,且
(2)求sinB+sinC的最大值。 2asiAn(2bc)siBn(2cb)siC,(1)n求A的值。变式二:(江苏)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若
ba6cosC,则abtanCtanC tanAtanB
变式三:在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,且ac2b,sinAcosC=3cosAsinC,求b.
题型六:判断三角形的形状 方法汇总:(1)求最大角的余弦,判断△ABC是锐角、直角、还是钝角三角形
(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角,判断是等腰,等边还是直角三角形
例:在△ABC中,若sinC=2cosAsinB,则此三角形为
变式一:(12上海)在△ABC中,若sinAsinBsinC,则△ABC的形状是
变式二:在△ABC中,有以下结论
(1)abc,则△ABC为钝角三角形; (2)abcbc,则A60 (3)abc,则△ABC中为锐角三角形;
(4)A:B:C1:2:3,则a:b:c=1:2:3.其中正确的为 变式三:已知△ABC中,cos
变式四:已知函数f(x)=cosx23sinxcosxsinx
(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若
222222222222220222Abc,则△ABC的形状为 22c 3
Af()2且a2bc,试判断△ABC的形状。 2 练习
1、在△ABC中,已知cosA12,abc,请判断△ABC的形状。 22、在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.
3、在△ABC中,若
cosAb = ,则△ABC的形状是.( ) cosBaB.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
A.等腰直角三角形
4.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.在△ABC中,已知atanBbtanA,试判断此三角形的形状。
6.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13,则△ABC( ) (A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
题型七:正余弦定理与向量的综合
例一:在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,若ABACBABC1.(1)求证:A=B;(2)求边长c的值;(3)若ABAC
变式一:在△ABC中,AB=2,AC=3,ABBC1,则BC=
变式二:在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,A=若CBCA13,求a,b,c.
226,求△ABC的面积。
,(13)c2b。(1)求C;(2)6 4
变式三:在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,且cosA25,ABAC3,(1)求25△ABC的面积;(2)b+c=6,求a的值。
变式四:在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c, 且bcosC3acosBccosB.(1)求cosB的值;(2)若BABC2,且b=22,求a和c的值。
题型 七【取值范围问题】
1、已知ABC中, AB=1,BC=2,则角 C的取值范围是( )
A 0C B 0C C C D C
6262632、设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长,则实数m的取值范围是( )
A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6
3、钝角三角形ABC的三边长为连续自然数,则这三边长为( )
A 1,2,3 B 2,3,4 C 3,4,5 D 4,5,6 4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
5、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( )
A.1x5 B.5x13 C.0x
综合应用
1. 在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,边ctanAtaBn3tAan△ABC的面积为Btan,又35 D.13x5
7,且233,求ab的值. 2x202. 在锐角三角形中,边a、b是方程x223的两根,角A、B满足
2sinAB3,求角0C的度数,边c的长度及△ABC的面积.
3.(湖北卷文)(本小题满分12分) 在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且3a2csinA(Ⅰ)确定角C的大小(Ⅱ)若c=7,且△ABC的面积为a+b的值。
332,求
5
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