武冈市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

武冈市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数F(x)ex满足F(x)g(x)h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数， 若x(0,2]使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．(,22) B．(,22] C．(0,22] D．(22,) 2． 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2} 3． 下列式子中成立的是（ ） A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5 C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67

4． 已知两点M（1，），N（﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y﹣1=0；

22

②x+y=3；

③④

+y2=1；

2

﹣y=1．

在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③

D．②③④

5． 已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（ ） A．﹣3 B．3

6． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

=2，则四面体D﹣ABC中最长

C．

D．±3

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A．

B．2 C． D．3

=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

7． 已知双曲线（ ）

﹣

A． B． C．3 D．5

8． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ） A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣3，0]

9． i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1

题的个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

2＋2z

11．复数满足＝iz，则z等于（ ）

1－iA．1＋i C．1－i

B．－1＋i D．－1－i

B．1

D．（﹣3，+∞） C．﹣i

D．i

10．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命

12．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B．1 C． D．

二、填空题

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13．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且|= ．

14．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ． 15．i是虚数单位，化简：

= ．

|=2，则

16．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ． 17．已知向量a(1,x),b(1,x1),若(a2b)a，则|a2b|（ ） A．2 B．3 C．2 D．5 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

18．已知||=1，||=2，与的夹角为

，那么|+||﹣|= ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）111]

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF//DB. （1）已知ABBC，AFCF，求证：AC平面BEF； （2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证： GH//平面ABC.

20．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）． （1）当a=1时，求f（x）的最小值；

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（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；

（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．

21．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=

，g（x）=

*

，其中n∈N

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；

y=c（Ⅱ）若存在直线l：（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）

22．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）记bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Sn．

23．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}． （Ⅰ）求A∩（∁UB）； （Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．

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24．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．

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武冈市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为函数Fxex满足Fxgxhx,且gx,hx分别是R上的偶函数和奇函数,egxhx,exxexexexexgxhx,gx,hx,x0,2 使得不等式

222x2xxx2x2xxx2ee2eeeeeeaa0恒成立, g2xahx0恒成立, 即

exexexex222exexxx, 设texex，则函数texex在0,2上单调递增,0te2e2, 此时不等

ee22式t22,当且仅当t,即t2时, 取等号,a22,故选B.

tt考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.

2． 【答案】D

【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，

xx

故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，

由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，

x

而10＜可化为10＜

x

x，即10＜10﹣，

x

lg2

由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2

故选：D

3． 【答案】D

【解析】解：对于A：设函数y=log0.4x，则此函数单调递减∴log0.44＞log0.46∴A选项不成立 对于B：设函数y=1.01，则此函数单调递增∴1.01＜1.01

x

3.4

3.5

∴B选项不成立

对于C：设函数y=x，则此函数单调递增∴3.5＞3.4

0.3

0.3

0.3

∴C选项不成立

对于D：设函数f（x）=log7x，g（x）=log6x，则这两个函数都单调递增∴log76＜log77=1＜log67∴D选项成立 故选D

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4． 【答案】 D

【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交． MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），

∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．

222

②x+y=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的

=

垂直平分线有交点，

2

③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线

有交点，

2

④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有

交点， 故选D

5． 【答案】B

【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=， 可得解得m=3． 故选：B．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．

6． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2，

，（m＞0）

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

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得BD=故选B．

，故最长棱的长为2．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

7． 【答案】A

2

【解析】解：抛物线y=12x的焦点坐标为（3，0） ∵双曲线

2

∴4+b=9 2∴b=5

2

的右焦点与抛物线y=12x的焦点重合

，即

∴双曲线的一条渐近线方程为

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A．

【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．

8． 【答案】 D

32

【解析】解：令f（x）=﹣2x+ax+1=0，

易知当x=0时上式不成立； 故a=

=2x﹣

，

=2

，

令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

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，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3， 故结合图象可知，a＞﹣3时， 方程a=2x﹣

有且只有一个解，

32

即函数f（x）=﹣2x+ax+1存在唯一的零点，

故选：D．

9． 【答案】A

2

【解析】解：由复数性质知：i=﹣1

23

故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选A

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

10．【答案】B

∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题； ￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，

【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，

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∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题． 故选：B．

11．【答案】

2＋2z

【解析】解析：选D.法一：由＝iz得

1－i2＋2z＝iz＋z， 即（1－i）z＝－2，

－2－2（1＋i）∴z＝＝＝－1－i.

21－i法二：设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi）， 即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，

2＋2a＝a－b

∴， 2b＝a＋b

∴a＝b＝－1，故z＝－1－i. 12．【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．

=2

，

，

二、填空题

13．【答案】 （﹣

【解析】解：∵则：AD：BD=1：5

，

，

，

） ．

设OC与AB交于D（x，y）点 即D分有向线段AB所成的比为

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则

解得：

∴又∵|∴

|=2

=（﹣

，，

） ）

故答案为：（﹣

【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，

可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式

14．【答案】【

进行求解．

8 9解

析

】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比

复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

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较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 15．【答案】 ﹣1+2i ．

【解析】解：

故答案为：﹣1+2i．

16．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=

，G=± =

，

由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．

17．【答案】A 【

解

析

】

18．【答案】

．

，

=

．

【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为∴

=

=1×

=1．

=

∴|+||﹣|=故答案为：

=．

【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据EF//DB,所以平面BEF就是平面BDEF,连接DF,AC是等腰三角形ABC和ACF的公共底边，点D是AC的中点，所以ACBD,ACDF,即证得AC平面BEF的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC的中点为，连接GI，HI，根据中位线证明平面HGI//平面ABC,即可证

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明结论.

试题解析：证明：（1）∵EF//DB，∴EF与DB确定平面BDEF.

如图①，连结DF. ∵AFCF，D是AC的中点，∴DFAC.同理可得BDAC. 又BDDFD，BD、DF平面BDEF，∴AC平面BDEF，即AC平面BEF.

考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.

【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行. 20．【答案】

【解析】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣2|+x=所以，f（x）在（﹣∞，2）递减，在[2，+∞）递增， 故最小值为f（2）=2； …（4分）

…（2分）

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（2）f（x）=

要使函数f（x）有最小值，需∴﹣2≤a≤2，…（8分）

，…（6分） ，

故a的取值范围为[﹣2，2]． …（9分）

（3）∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（sinx）=（a﹣2）sinx+4，

“h（x）=f（sinx）﹣2=（a﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解”， 亦即∴

有解， ，…（11分）

解得a≤0或a≥4，…（13分）

∴a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）…（14分）

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质，是解决本题的关键．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，

，

令 f′（x）=0，解得

．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示： x f′（x） f（x） + ↗ 0 ﹣ ↘ 上为单调递增，区间

）=

=

所以函数f（x）在区间上为单调递减． ．

所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（g′（x）=

，令g′（x）=0，解得x=n．

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当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示： x n （0，n） （n，+∞） g′（x） g（x） ﹣ ↘ 0 + ↗ 所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=

，

∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧， ∴即e

≥

n+1

，

≥nn﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，

当n=1时，成立， 当n≥2时，设h（n）=

≥lnn，即

，n≥2，

≥0，

则h（n）是减函数，∴继续验证， 当n=2时，3﹣ln2＞0， 当n=3时，2﹣ln3＞0， 当n=4时，

，

当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0， 则n的最大值是4．

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 由an＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0， 化简得q﹣q﹣2=0，

2

解得q=2或q=﹣1（舍），

2

∵a3=a1•q=4a1=8，∴a1=2，

∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列，

n

∴an=2；

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（Ⅱ）由（I）知bn=log2an=

n

∴anbn=n•2，

=n，

123n1n

∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2﹣+n×2，

2Sn=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，

123n1nn+1

两式相减，得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2，

∴﹣Sn=

n+1

﹣n×2，

n+1

∴Sn=2+（n﹣1）2．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}， ∴∁UB={x|x≥4}，

2

又∵A={x|x﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，

∴A∩（∁UB）={x|4≤x≤5}； ∴a的范围为a≤﹣1．

（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本 题的关键．

24．【答案】

【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2）， ∴

+8

∴化为化为：∴∴θ=

或

+16， ．

=0， =0， =

， ，代入

﹣

=0，

cos2θ，

【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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