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1981高考数学全国卷及答案

2021-08-26 来源:尚车旅游网


1981年普通高等学校招生全国统一考试

数学(文科)

一.(本题满分6分)

设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:1.A∪B, 2.A∩B. 解:1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ 二.(本题满分8分) 化简:[a7b23(ab)82][2a2b2a2a2(ba)3][]

2b4解:原式=(ba)b2 3三.(本题满分6分)

在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果:(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果 解:1.选举种数P42=12(种)所有可能的选举结果:

AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC 2.选举种数C43=4(种)所有可能的选举结果: ABC、ABD、ACD、BCD 四.(本题满分10分)

求函数f(x)=sinx+cosx在区间(-π,π)上的最大值 解:

1

f(x)2sin(x),所以f(x)以2为振幅,以2为周期,区间(,)恰好 4是f(x)的一个周期的定义区间,故f(x)在这个区间上取得最大值2.五.(本题满分10分)

写出正弦定理,并对钝角三角形的情况加以证明 答:

sinAsinBsinC. abc证:引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E 设△ABC的面积为S,则

S11ACBEbcsin(180A)22

B a D c E A C b 1bcsinA;2又S

11BCADacsinB 2211SBCADabsinC 22111SbcsinAacsinBabsinC

2221sinAsinBsinC. 将上式除以abc,得:

2abc六.(本题满10分)

已知正方形ABCD的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B和D的坐标 解:设AC中点为M(x,y),则有

x02151,y2.M(x,y)M(1,2) 22又设AC斜率为k,则k=3因此得BD的斜率为 1k13 (1) 故有直线BD的方程:y2(x1) 13又以M点为圆心,|MA|为半径的圆的方程为

(x1)2(y2)210 (2)

2

解方程(1)、(2)得B、D的坐标为(4,1)及(-2,3) (注:用复数法解亦可)

七.(本题满分17分)

设1980年底我国人口以10亿计算 (1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用: lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解:1.所求人口数x(亿)是等比数列

10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即

x=10×(1.02)20,

两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴x=14.859(亿)

2.设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得

10×(1+y%)20≤12, (1+y%)20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2.

3

即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答:略 八.(本题满分15分)

ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱,过A、C、B1三点作一截面,求证: 截面ACB1⊥对角面DBB1D1 证:设AC、BD交于O点 作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形由于AC1

是正四棱柱,所以ABCD是正方形,故AC⊥BD;又BB1⊥底面

D1 C1

A1 B1 D C O A B ABCD,故BB1⊥AC∴AC⊥对角面BB1D1D 已知AC在截面ACB1内,故有 截面ACB1⊥对角面BB1D1D 九.(本题满分18分)

1.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为35,求k的值 2.以本题(1)得到的弦为底边,以x轴上的点P为顶点做成三角形

当这三角形的面积为9时,求P的坐标 解:设直线与抛物线的交点为

Y y=2x+k

P1(x1,y1),P2(x2,y2).解方程组:

P2 y2=4x

y24x 得(2xk)24x  y2xk O X P1

4

即4x24(k1)xk20k2故有x1x21k,x1x2.4(x1x2)2(x1x2)24x1x2k2(1k)412k.22.设x轴上一点P的坐标为

4又因P1,P2在直线y2xk上,故(y1y2)24(x1x2)24(12k).根据题设条件(x1x22)(y1y22)35,即(12k)4(12k)45,解得:k4.(a,0)又点P到直线P1P2的距离为h,则有依题意得△PP1P2的面积关系:

9135|2a4|25,即6|2a4|, a5,a1.

5

h|2a4|5

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