微分几何习题3

2023-01-25 来源：尚车旅游网

微分几何习题（三）

一.填空题

1.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是 . 2.单参数平面族a2x2ay2z2a的包络为 . a33.曲面r{u,v,}，(a0)的切平面和三个坐标面构成的四面体的体积是 . uv 4.圆柱螺线r{acost,asint,bt}在t0处的密切平面方程为 . 5.星形线xcos3t，ysin3t的弧长为 .

二.简答题

1. 叙述曲面在一点的高斯曲率的绝对值的几何意义. 2. 写出一般螺线的性质.

三.计算题

1. 求曲线ra(tsint),a(1cost),bt (a0)的曲率和挠率. 2. 求球面rRcoscos,cossin,sin的面积.

3. 求抛物面za(x2y2)在(0,0,0)点的Gauss曲率和平均曲率

四.证明题

1. 证明：若一条正则曲线的曲率处处不是零，并且它在各点的法平面都包含一个固定的非零向量e，

则它必定落在一个平面上.

2. 证明曲面S上的曲线(C)是曲率线的充要条件是曲面S沿着曲线(C)的法线构成一个可展曲面. 3. 证明若曲面S的两族渐近曲线交于定角，则主曲率之比为一个常数.

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