2015年安徽省中考数学第20题评析

2015年安徽省中考数学第20题评析

【原题呈现】20．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在

⊙O上，且OP⊥PQ．

C C (1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； Q P P Q (2)如图2，当点P在BC上移动时，

B A B A

求PQ长的最大值． O O

第20题图2 第20题图1

【考查内容】图形与几何——圆，勾股定理，二次函数，三角函数，相似 【解法剖析】

C(1)解法一：连接OQ，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB， P在Rt△BOP中，OPOBtan303 在Rt△QPO中，

PQOQ2OP232(3)26 QAOB点评：连接OQ后，OP是Rt△BOP和Rt△QPO的公共边，先在Rt△BOP中利用三角函数或勾股定理求出OP的长，再在Rt△QPO中利用勾股定理求出PQ的长．此方法比较简单，多数考生用到了这个方法．失分点：三角函数值记错或用错，利用勾股定理计算PQ的长度时计算出错．

解法二：连AQ、CQ、AC、AP，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，

C在Rt△BOP中，OPOBtan303，PB=AP=2

3，

QAPOB∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90o ∵∠ABC＝30°，

∴BC=AB·cos30°=33∴PC=3，∵∠PCQ+∠QAB=180° ∠PQA+∠QAB=180°，∴∠PCQ=∠PQA，∵∠CPQ=∠QPA=30° ∴△PCQ∽△PQA∴

PCPQ∴PQ2PCPA＝323＝6，∴PQ=6 PQPA解法三：延长QP交⊙O于点M，连接BM、AC、QC，先求PB=23，

CPC=3（方法同解法二），再证△PCQ∽△PMB， 可得

QPOMBPCPQA2∵PM=PQ，∴PQPCPB＝323＝6， PMPB∴PQ=6

点评：解法二和解法三基本相同，都是通过添加辅助线的方法构造三角形相似，得到含PQ的比例式，从而求出PQ的长．这两种方法只有极少考生使用，需要先用直径所对的圆周角是直角和三角函数（或利用假“A”型相似）求出PA（PB）、PC的长，再利用三角形相似求出PQ的长，考生不易想到．

1

(2)解法一：过O作OG⊥BC于G，则OG3， 2CQAPGOB9设PGx，则OP2x2，连接OQ，则

49272PQ2OQ2OP232(x2)x

44 当x0时，PQ最大2733 42解法二：过P作PG⊥AB于G，则PG3， 2QACPOGB9设OGx，则OP2x2，连接OQ，则

49272PQOQOP3(x)x

4422222 当x0时，PQ最大2733 42QCPOB解法三：连接OQ，设OPx，则

3PQ2OQ2OP232x29x2，x3

2当x27333 时，PQ最大422A点评：这三种解法都体现了建模思想，这类动点问题可以利用函数来体现其变化关系，即利

用勾股定理建立二次函数模型，从而利用二次函数求出PQ的最大值．失分点：解法三中，不少同学因为忽略了自变量x的取值范围而出错．

解法四：利用（1）中的解法二或解法三可得，PQPCPB， ∵CPPB0∴CPPB4CPPB0

22∴CPPB4PQ0∴CPPB4PQ

22222CQAPOMB22∵CPPBBC33∴274PQ∴PQ27 4∴PQ27333∴当且仅当CPPB，即点P是BC中点时，PQ最大3 242点评：此解法利用基本不等式求出PQ的最大值，方法巧妙，充分体现了极个别考生思维的

灵活性．

解法五：∵PQOQOP9OP ∴当OP最小时，PQ最大，此时，OPBC．

A2222QCPOBsinABC3sin30∵OPOB3 22

333∴PQ长的最大值为9．

22点评：此解法求PQ的最大值，转化为求OP的最小值，可以利用垂线段最短求解．失分点：最后化简二次根式时出错．

解法六：设OPB，在OPB中，由正弦定理，得

2OBOP3OP，即 sinsinBsinsin303∴OP

2sin∴PQOQOP922QACPOB9 24sin92733． 442当90时，sin最大，sin的最大值为1，∴PQ最大值9点评：此解法利用了高中阶段的学习内容——正弦定理及正弦函数的增减性，可见极个别学

有余力的考生平时数学学习的广度和深度及对数学学习的热爱和兴趣．

总评:此题综合性强，解题方法很多，考查范围较广，与初中数学很多内容有关，如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等．考查了多种数学思想，如建模思想、化归思想等．此题难度中等，有一定的灵活性，考生不易拿满分．常见的失分原因有：①解题方法错误，如第(1)题，考生连接OQ后，想当然认为四边形PQOB是平行四边形，或认为△OPQ与△POB全等或相似，从而

33532得出PQ=3或的错误结果．②计算化简错误，计算3时，结果等于，计

222算32232时，结果等于23．③概念或知识点模糊，如正弦与正切弄混，勾股定理233用错，特殊角的三角函数值记错等等．④书写不规范，如3写成32，

22223232写成33而导致计算错误．⑤审题不仔细，如一些考生把题中“直径22AB=6”看成了“半径为6”而导致丢分．因为这道题的失分原因很多，所以对于这道题，

马鞍山地区考生的得分率是较低的，这要引起我们初中数学老师的重视．在平时教育教学中，数学老师要特别重视学生基础知识和基本技能的培养，如此题中正弦与正切概念的理解，特殊角的三角函数值的记忆，二次根式的计算与化简，书写的规范等等．此外，平时教学中注重数学思想方法的渗透，注重知识间的联系，构建知识网络体系，注重学生思维品质和思维能力的培养，培养学生发散性思维和逆向思维的能力，注重学生一题多解的能力．总之，充分发挥老师和学生的聪明才智，让学生的学习能力得以提升，学习效果最大化．

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